Orthogonalité, équations et distances dans l'espace
Produit scalaire dans l'espace, équation cartésienne d'un plan, distances.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans l'espace.
- Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à une droite ou à un plan.
- Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs et mesures : longueur, angle, aire, volume.
- Étudier des problèmes de configuration dans l'espace : orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan ; lieux géométriques simples.
- Déterminer une représentation paramétrique d'une droite ; reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique.
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ; reconnaître un plan donné par une équation cartésienne.
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ou sur une droite.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur un plan \(\mathcal{P}\) est le point de \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(M\).
- Équation cartésienne du plan normal au vecteur \(\vec{n}\) et passant par le point \(A\).
1. Introduction
En Première, vous avez étudié le produit scalaire dans le plan. Dans ce chapitre, on étend ces outils à l'espace à trois dimensions. Le produit scalaire permet de :
- déterminer si deux vecteurs (ou deux droites) sont orthogonaux ;
- calculer l'angle entre deux vecteurs ;
- trouver l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal ;
- calculer la distance d'un point à un plan.
2. Cours
A. Capacités attendues
- Utiliser les propriétés du produit scalaire dans l'espace.
- Déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
- Déterminer l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
- Déterminer une base orthonormée.
- Calculer des longueurs dans l'espace.
- Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d'angle.
- Calculer la distance entre un point et un plan.
B. Produit scalaire dans l'espace
Soient \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}\). Il existe un plan \(\mathcal{P}\) contenant \(A\), \(B\), \(C\). Le produit scalaire \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) est le produit scalaire calculé dans ce plan \(\mathcal{P}\).
- Formule angulaire : \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos\bigl(\widehat{BAC}\bigr) \]
- Formule de projection : Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) : \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \] (avec signe : positif si \(H\) est du même côté que \(B\) par rapport à \(A\), négatif sinon).
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux si et seulement si : \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \]
- Commutativité : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}\)
- Bilinéarité : \(\overrightarrow{u} \cdot (k\overrightarrow{v}) = k(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\)
- Distributivité : \(\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}\)
- Carré scalaire : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2\)
- Développement : \[ \|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 \] \[ \|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 - 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 \]
- Identités polaires : \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{4}\bigl(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 - \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2\bigr) \]
C. Produit scalaire dans un repère orthonormé
Une base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) est orthonormée si :
- les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux : \(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = 0\)
- chaque vecteur est de norme 1 : \(\|\overrightarrow{i}\| = \|\overrightarrow{j}\| = \|\overrightarrow{k}\| = 1\)
Si \(\overrightarrow{u}(x\,;y\,;z)\) et \(\overrightarrow{v}(x'\,;y'\,;z')\) : \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz' \] \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Si \(A(x_A\,;y_A\,;z_A)\) et \(B(x_B\,;y_B\,;z_B)\) : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]
D. Orthogonalité dans l'espace
D.1 Orthogonalité de deux droites
Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u_1}\) et \(\overrightarrow{u_2}\) sont orthogonales si et seulement si : \[ \overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 \] Attention : deux droites orthogonales dans l'espace ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être gauches).
D.2 Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Une droite \((d)\) est orthogonale à un plan \((\mathcal{P})\) si elle est orthogonale à toutes les droites de \((\mathcal{P})\). En pratique, il suffit de vérifier qu'elle est orthogonale à deux droites non parallèles de \((\mathcal{P})\).
Le vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) de \((d)\) est appelé vecteur normal au plan \((\mathcal{P})\). Il est orthogonal à tout vecteur du plan : \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \quad \text{pour tout } \overrightarrow{u} \in (\mathcal{P}) \]
D.3 Équation cartésienne d'un plan
Un plan \((\mathcal{P})\) de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a\,;b\,;c)\) passant par le point \(A(x_0\,;y_0\,;z_0)\) a pour équation cartésienne : \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] ce qui s'écrit aussi sous la forme développée : \[ ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } d = -ax_0 - by_0 - cz_0 \]
E. Projection orthogonale d'un point sur un plan — Distance
Le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \((\mathcal{P})\) est le point \(H\) de \((\mathcal{P})\) tel que \((MH)\) est orthogonale à \((\mathcal{P})\). Autrement dit, \(\overrightarrow{MH}\) est colinéaire au vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).
La distance du point \(M(x_0\,;y_0\,;z_0)\) au plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\) est : \[ d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
3. Exemples guidés
Soient \(A(1\,;2\,;3)\), \(B(3\,;0\,;-1)\), \(C(0\,;1\,;2)\). Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) et l'angle \(\widehat{BAC}\).
Trouver l'équation du plan \((\mathcal{P})\) passant par \(A(1\,;-1\,;2)\) de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(2\,;-3\,;1)\).
Calculer la distance du point \(M(3\,;0\,;1)\) au plan \(x + 2y - 2z + 1 = 0\).
La distance de \(M\) au plan est \(\dfrac{2}{3}\).
Montrer que les droites \((d_1)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u_1}(1\,;2\,;-1)\) et \((d_2)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u_2}(2\,;-1\,;0)\) sont orthogonales.
Trouver le projeté orthogonal de \(M(1\,;0\,;3)\) sur le plan \((\mathcal{P})\) d'équation \(x - y + z - 2 = 0\).
4. Exercices progressifs
Soient \(\overrightarrow{u}(2\,;-1\,;3)\) et \(\overrightarrow{v}(1\,;4\,;2)\).
- Calculer \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\).
- Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
1) Produit scalaire :
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times 2 = 2 - 4 + 6 = 4 \]2) Comme \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 \neq 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas orthogonaux.
Trouver l'équation cartésienne du plan passant par \(A(2\,;1\,;0)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(1\,;-2\,;3)\).
On applique la formule avec \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\) et le point \(A(2\,;1\,;0)\) :
\[ 1(x-2) + (-2)(y-1) + 3(z-0) = 0 \] \[ x - 2 - 2y + 2 + 3z = 0 \] \[ \boxed{x - 2y + 3z = 0} \]Vérification : \(2 - 2(1) + 3(0) = 2 - 2 = 0\). ✓
Calculer la distance du point \(P(1\,;2\,;3)\) au plan d'équation \(2x - y + 2z - 1 = 0\).
On identifie \(a=2\), \(b=-1\), \(c=2\), \(d=-1\) et \(P(1\,;2\,;3)\).
\[ d = \frac{|2\times1 + (-1)\times2 + 2\times3 + (-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|5|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \]La distance de \(P\) au plan est \(\dfrac{5}{3}\).
Soient les points \(A(1\,;0\,;1)\), \(B(2\,;1\,;0)\), \(C(0\,;2\,;2)\). Vérifier que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
On calcule les vecteurs depuis \(A\) :
\[ \overrightarrow{AB} = (2-1\,;\,1-0\,;\,0-1) = (1\,;\,1\,;\,-1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0-1\,;\,2-0\,;\,2-1) = (-1\,;\,2\,;\,1) \]Produit scalaire :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1\times(-1) + 1\times2 + (-1)\times1 = -1 + 2 - 1 = 0 \]Le produit scalaire est nul, donc \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\) : le triangle \(ABC\) est bien rectangle en \(A\).
On peut aussi calculer les longueurs pour vérifier le théorème de Pythagore :
\[ AB = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}, \quad AC = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}, \quad BC = \sqrt{(0-2)^2+(2-1)^2+(2-0)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3 \] \[ AB^2 + AC^2 = 3 + 6 = 9 = BC^2 \checkmark \]Trouver le projeté orthogonal de \(M(2\,;3\,;-1)\) sur le plan \((\mathcal{P})\) d'équation \(x + y - z - 1 = 0\).
Le vecteur normal au plan est \(\overrightarrow{n}(1\,;1\,;-1)\).
La droite par \(M\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) a pour représentation paramétrique :
\[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + t \\ z = -1 - t \end{cases} \]On substitue dans l'équation du plan :
\[ (2+t) + (3+t) - (-1-t) - 1 = 0 \] \[ 2+t+3+t+1+t-1 = 0 \] \[ 3t + 5 = 0 \implies t = -\frac{5}{3} \]Coordonnées du projeté \(H\) :
\[ x_H = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}, \quad y_H = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}, \quad z_H = -1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \]Donc \(H\!\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\).
Vérification : \(\frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1+4-2}{3} - 1 = \frac{3}{3} - 1 = 1 - 1 = 0\). ✓
La distance \(MH\) vaut : \[ MH = \frac{|2+3-(-1)-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
On considère le tétraèdre \(OABC\) avec \(O(0\,;0\,;0)\), \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;1\,;0)\), \(C(0\,;0\,;1)\).
- Calculer les longueurs de toutes les arêtes.
- Vérifier que \(OA\), \(OB\) et \(OC\) sont deux à deux orthogonaux.
- Calculer l'angle \(\widehat{AOB}\).
1) Longueurs des arêtes :
Arêtes issues de \(O\) :
\[ OA = \sqrt{1^2+0+0} = 1, \quad OB = \sqrt{0+1^2+0} = 1, \quad OC = \sqrt{0+0+1^2} = 1 \]Arêtes opposées :
\[ AB = \sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+0} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{(0-1)^2+0+(1-0)^2} = \sqrt{2} \] \[ BC = \sqrt{0+(0-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{2} \]Bilan : \(OA = OB = OC = 1\) et \(AB = AC = BC = \sqrt{2}\). Ce n'est pas un tétraèdre régulier (les arêtes ne sont pas toutes égales), mais les trois arêtes issues de \(O\) sont égales et les trois arêtes du triangle \(ABC\) sont égales.
2) Orthogonalité deux à deux :
\[ \overrightarrow{OA}(1\,;0\,;0), \quad \overrightarrow{OB}(0\,;1\,;0), \quad \overrightarrow{OC}(0\,;0\,;1) \] \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1\times0+0\times1+0\times0 = 0 \checkmark \] \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1\times0+0\times0+0\times1 = 0 \checkmark \] \[ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0\times0+1\times0+0\times1 = 0 \checkmark \]\(OA\), \(OB\) et \(OC\) sont bien deux à deux orthogonaux. \(\bigl(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\bigr)\) forme en fait la base orthonormée canonique !
3) Angle \(\widehat{AOB}\) :
\[ \cos(\widehat{AOB}) = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\|\overrightarrow{OA}\| \times \|\overrightarrow{OB}\|} = \frac{0}{1 \times 1} = 0 \]Donc \(\widehat{AOB} = 90°\). Les droites \((OA)\) et \((OB)\) sont perpendiculaires (ce qui était attendu puisque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux).
📌 Fiche de synthèse
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Si \(\overrightarrow{u}(x\,;y\,;z)\) et \(\overrightarrow{v}(x'\,;y'\,;z')\) :
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz' \] \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \] \[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|} \]Orthogonalité
- Vecteurs : \(\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)
- Droites : orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
- Droite \(\perp\) plan : le vecteur directeur de la droite est normal au plan.
Plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\)
- Vecteur normal : \(\overrightarrow{n}(a\,;b\,;c)\).
- Construction : \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\) avec \(A(x_0\,;y_0\,;z_0)\) dans le plan.
- Distance de \(M(x_0\,;y_0\,;z_0)\) au plan : \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Projeté orthogonal
Droite par \(M\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) → substituer dans l'équation du plan → trouver \(t\) → calculer \(H\).
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Le projeté orthogonal est le point le plus proche
Soit \(\mathcal{P}\) un plan et \(M\) un point de l'espace. Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point de \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(M\) : pour tout \(A \in \mathcal{P}\), \(MA \geq MH\).
Soit \(A \in \mathcal{P}\). Par définition, \(H\) est le pied de la perpendiculaire de \(M\) à \(\mathcal{P}\), donc \(\overrightarrow{MH} \perp \mathcal{P}\).
En particulier \(\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{HA}\) (car \(\overrightarrow{HA}\) est un vecteur du plan). Dans le triangle \(MHA\), l'angle en \(H\) est droit, donc par le théorème de Pythagore :
\[MA^2 = MH^2 + HA^2 \geq MH^2\]Donc \(MA \geq MH\), avec égalité si et seulement si \(A = H\). \(\square\)
Équation cartésienne d'un plan
Le plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(x_0, y_0, z_0)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(a, b, c)\) a pour équation cartésienne :
\[a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\]Un point \(M(x,y,z)\) appartient à \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\).
Or \(\overrightarrow{AM} = (x-x_0,\; y-y_0,\; z-z_0)\), donc :
\[\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\]Ce qui établit l'équation cartésienne du plan. Réciproquement, tout triplet \((x,y,z)\) vérifiant cette équation correspond bien à un point du plan. \(\square\)