Continuité
Fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires.
📄 Télécharger le PDF📋 Sommaire
Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Étudier les solutions d'une équation du type \(f(x) = k\) : existence, unicité, encadrement.
- Pour une fonction continue \(f\) d'un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par une relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
Aucune démonstration exigible dans le BO pour ce chapitre.
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Méthode de dichotomie.
- Méthode de Newton, méthode de la sécante.
1. Introduction
Imaginons que nous cherchons à résoudre l'équation \(x^3 - 2x - 5 = 0\). Il n'existe pas de formule simple pour les équations de degré 3 en général. Pourtant, nous pouvons affirmer qu'une solution existe entre 2 et 3, et même l'encadrer avec une précision aussi grande que souhaitée. C'est la puissance du théorème des valeurs intermédiaires.
Ce théorème repose sur une propriété fondamentale des fonctions continues : elles ne « sautent » pas, elles prennent toutes les valeurs intermédiaires. Pour l'utiliser, il faut donc d'abord bien comprendre ce que signifie la continuité d'une fonction.
2. Cours
A. Capacités attendues
- Comprendre et utiliser la définition de la continuité d'une fonction.
- Connaître et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et un de ses corollaires.
- Étudier les solutions d'une équation du type \(f(x) = k\) : existence, unicité, encadrement.
- Pour une fonction \(f\) continue d'un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\).
B. Fonctions continues sur un intervalle
\(f\) est continue en \(a\) si : \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \] Autrement dit, la limite de \(f\) en \(a\) existe, est finie, et est égale à la valeur \(f(a)\).
\(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout réel \(a \in I\).
C. Continuité des fonctions usuelles
- Les fonctions affines sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les polynômes sont continus sur \(\mathbb{R}\).
- La fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
- La racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0\,;+\infty[\).
Les sommes, produits, quotients (si le dénominateur ne s'annule pas) et composées de fonctions continues sont continues sur leur ensemble de définition.
Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
La valeur absolue \(f(x) = |x|\) est continue en 0 (sa courbe est tracée sans lever le crayon), mais elle n'est pas dérivable en 0 (la courbe forme un angle : la limite à gauche de \(\frac{f(h)-f(0)}{h}\) est \(-1\) et la limite à droite est \(+1\)).
D. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si \(f\) est définie et continue sur un intervalle \(I\), et si \(a, b \in I\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que : \[ f(c) = k \]
Si \(f\) est définie, continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) possède une unique solution dans \([a\,;b]\).
E. Fonctions continues et suites convergentes
Si \((u_n)\) est une suite à valeurs dans \(I\) convergeant vers \(\ell \in I\), et si \(f\) est continue sur \(I\), alors : \[ \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell) \] En d'autres termes, on peut « passer la limite à l'intérieur de \(f\) ».
Si \(f\) est définie et continue sur \(I\) à valeurs dans \(I\), et si la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell \in I\), alors \(\ell\) est solution de : \[ f(\ell) = \ell \] On dit que \(\ell\) est un point fixe de \(f\).
3. Exemples guidés
Montrer que \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) s'annule sur \([2\,;3]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x\). Montrer que \(f(x) = 2\) a une unique solution dans \([0\,;2]\).
Soit \(f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 1 \\ 3x^2-x+1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\). Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 1\).
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\). Montrer que \((u_n)\) converge et trouver sa limite.
4. Exercices progressifs
Montrer que la fonction \(f(x) = x^2 - 3\) s'annule sur l'intervalle \([1\,;2]\).
\(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\), et en particulier sur \([1\,;2]\).
On calcule les valeurs aux bornes :
\[ f(1) = 1 - 3 = -2 < 0 \] \[ f(2) = 4 - 3 = 1 > 0 \]\(f(1) < 0 < f(2)\) : \(0\) est compris entre \(f(1)\) et \(f(2)\). D'après le TVI, il existe au moins un \(c \in [1\,;2]\) tel que \(f(c) = 0\).
Remarque : On peut préciser que \(c = \sqrt{3} \approx 1{,}73\), qui est bien dans \([1\,;2]\).
Soit \(f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{si } x \leq 1 \\ 3x & \text{si } x > 1 \end{cases}\). La fonction \(f\) est-elle continue en \(x = 1\) ?
Limite à gauche : \(\lim_{x \to 1^-} (x+2) = 3\).
Valeur en 1 : \(f(1) = 1+2 = 3\) (on utilise la première formule car \(x \leq 1\)).
Limite à droite : \(\lim_{x \to 1^+} 3x = 3\).
Mais la limite à droite \(= 3 = f(1)\)... attendez : est-ce que les deux limites coïncident avec la valeur ?
Oui : limite à gauche \(= 3\), limite à droite \(= 3\), valeur \(f(1) = 3\). Donc \(f\) est continue en \(x = 1\).
Attention : Si la limite à droite avait été \(3 \times 1 = 3\) (même valeur), la continuité est assurée. Mais si on avait eu \(3x\) évalué juste après 1, par exemple avec un autre coefficient, on aurait pu avoir une discontinuité.
Soit \(f(x) = e^x - x - 2\).
- Montrer que \(f\) s'annule sur \([1\,;2]\).
- Donner un encadrement de la solution à \(0{,}1\) près.
1) \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (somme et composée de fonctions continues).
\[ f(1) = e - 1 - 2 = e - 3 \approx 2{,}718 - 3 = -0{,}282 < 0 \] \[ f(2) = e^2 - 2 - 2 = e^2 - 4 \approx 7{,}389 - 4 = 3{,}389 > 0 \]\(f(1) < 0 < f(2)\). D'après le TVI, il existe \(c \in [1\,;2]\) tel que \(f(c) = 0\).
De plus, \(f'(x) = e^x - 1 > 0\) pour \(x > 0\), donc \(f\) est strictement croissante : la solution est unique.
2) Encadrement par dichotomie :
On teste \(f(1{,}1) = e^{1{,}1} - 1{,}1 - 2 \approx 3{,}004 - 3{,}1 = -0{,}096 < 0\).
On teste \(f(1{,}2) = e^{1{,}2} - 1{,}2 - 2 \approx 3{,}320 - 3{,}2 = 0{,}120 > 0\).
Donc la solution \(c\) vérifie \(1{,}1 \leq c \leq 1{,}2\), soit un encadrement à \(0{,}1\) près : \(\boxed{1{,}1 \leq c \leq 1{,}2}\).
Soit \(f(x) = x^3 + 2x - 1\). Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
\(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 3x^2 + 2 \geq 2 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Valeurs aux bornes :
\[ f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0 \] \[ f(1) = 1 + 2 - 1 = 2 > 0 \]\(f(0) < 0 < f(1)\). D'après le corollaire du TVI (continuité + stricte croissance), l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).
- Montrer par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 2\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Conclure à la convergence. Trouver la limite.
1) Récurrence sur \(0 \leq u_n \leq 2\) :
Initialisation : \(u_0 = 0\), donc \(0 \leq u_0 \leq 2\). ✓
Hérédité : Supposons \(0 \leq u_n \leq 2\). Alors \(2 \leq u_n + 2 \leq 4\), donc \(\sqrt{2} \leq \sqrt{u_n+2} \leq 2\), c'est-à-dire \(\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2\). En particulier \(0 \leq u_{n+1} \leq 2\). ✓
2) Monotonie :
On compare \(u_{n+1}\) et \(u_n\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n \]
Posons \(g(x) = \sqrt{x+2} - x\). On a \(g(0) = \sqrt{2} > 0\) et \(g(2) = 2 - 2 = 0\).
Pour \(0 \leq u_n \leq 2\), on peut montrer que \(g(u_n) \geq 0\), donc \(u_{n+1} \geq u_n\).
La suite est croissante.
3) Convergence et limite :
\((u_n)\) est croissante et majorée par 2 : elle converge vers un réel \(\ell \leq 2\).
En passant à la limite dans \(u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}\) : \[ \ell = \sqrt{\ell + 2} \implies \ell^2 = \ell + 2 \implies \ell^2 - \ell - 2 = 0 \implies (\ell-2)(\ell+1) = 0 \] Donc \(\ell = 2\) ou \(\ell = -1\). Comme \(u_n \geq 0\) pour tout \(n\), on a \(\ell \geq 0\), donc \(\boxed{\ell = 2}\).
On considère la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + \tfrac{2}{u_n}}{2}\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
- Vers quelle valeur cette suite semble-t-elle converger ?
- Vérifier en utilisant le théorème du point fixe.
1) Calcul de \(u_1\) et \(u_2\) :
\[ u_1 = \frac{u_0 + \frac{2}{u_0}}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \] \[ u_2 = \frac{u_1 + \frac{2}{u_1}}{2} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{9}{6} + \frac{8}{6}}{2} = \frac{\frac{17}{6}}{2} = \frac{17}{12} \approx 1{,}4167 \]On remarque que \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) : la convergence est très rapide !
2) Conjecture : La suite semble converger vers \(\sqrt{2}\).
3) Vérification par le point fixe :
On pose \(f(x) = \dfrac{x + \frac{2}{x}}{2} = \dfrac{x^2+2}{2x}\). Si la suite converge vers \(\ell > 0\), alors \(\ell = f(\ell)\) :
\[ \ell = \frac{\ell^2 + 2}{2\ell} \implies 2\ell^2 = \ell^2 + 2 \implies \ell^2 = 2 \implies \ell = \sqrt{2} \] (on prend la valeur positive car \(u_n > 0\) pour tout \(n\)).La limite est \(\boxed{\sqrt{2}}\). Cette méthode s'appelle la méthode de Newton appliquée à l'équation \(x^2 - 2 = 0\) : elle converge extrêmement vite (le nombre de décimales correctes double à chaque étape).
📌 Fiche de synthèse
Continuité
\(f\) continue en \(a\) \(\Leftrightarrow\) \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) (limite = valeur).
Toute fonction dérivable est continue. La réciproque est fausse (\(|x|\) en 0).
Théorème des valeurs intermédiaires
- \(f\) continue sur \([a\,;b]\) + \(f(a)\) et \(f(b)\) de signes opposés \(\Rightarrow\) \(\exists\, c \in [a\,;b],\ f(c) = 0\).
- Si de plus \(f\) est strictement monotone : ce \(c\) est unique.
Suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_n)\)
- Montrer que \((u_n)\) reste dans un intervalle \(I\) (récurrence).
- Montrer que \((u_n)\) est monotone.
- Conclure à la convergence (monotone + bornée).
- Trouver la limite en résolvant \(f(\ell) = \ell\) (point fixe).
À retenir
La dichotomie permet d'encadrer une solution à toute précision souhaitée en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Méthode de dichotomie
Approcher une solution de \(f(x)=0\) sur \([a,b]\) en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
def dichotomie(f, a, b, precision=1e-6):
"""
Trouve une racine de f sur [a, b] par dichotomie.
Précondition : f(a) * f(b) <= 0 (f change de signe)
"""
assert f(a) * f(b) <= 0, "f doit changer de signe sur [a, b]"
nb_iter = 0
while b - a > precision:
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
nb_iter += 1
print(f"Convergence en {nb_iter} itérations")
return (a + b) / 2
# Exemple : trouver la racine cubique de 2
racine = dichotomie(lambda x: x**3 - 2, 1, 2)
print(f"Racine cubique de 2 ≈ {racine:.6f}") # ≈ 1.259921Méthode de Newton (tangentes)
La méthode de Newton converge beaucoup plus vite que la dichotomie en utilisant la tangente à la courbe.
def newton(f, df, x0, precision=1e-10, max_iter=100):
"""
Méthode de Newton pour résoudre f(x) = 0.
f : fonction
df : dérivée de f
x0 : valeur initiale
"""
x = x0
for i in range(max_iter):
fx = f(x)
if abs(fx) < precision:
print(f"Convergence en {i} itérations")
break
x = x - fx / df(x)
return x
# Exemple 1 : sqrt(2) — résoudre x² - 2 = 0
import math
x = newton(lambda x: x**2 - 2, lambda x: 2*x, x0=1.0)
print(f"sqrt(2) ≈ {x:.10f} (exact : {math.sqrt(2):.10f})")
# Exemple 2 : solution de cos(x) = x → résoudre x - cos(x) = 0
x = newton(lambda x: x - math.cos(x), lambda x: 1 + math.sin(x), x0=0.5)
print(f"cos(x)=x → x ≈ {x:.10f}")