Limites de fonctions
Limite en ±∞, limite en un réel. Asymptotes.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Déterminer dans des cas simples la limite d'une suite ou d'une fonction en un point, en \(\pm\infty\), en utilisant les limites usuelles, les croissances comparées, les opérations sur les limites, des majorations, minorations ou encadrements, la factorisation du terme prépondérant dans une somme.
- Faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Croissance comparée de \(x \mapsto x^n\) et \(\exp\) en \(+\infty\).
1. Introduction
L'étude des limites de fonctions prolonge celle des limites de suites : on s'intéresse au comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) s'approche de \(+\infty\), de \(-\infty\), ou d'une valeur réelle \(a\). Ces limites permettent d'identifier les asymptotes d'une courbe, de comprendre les discontinuités, et de préparer l'étude des dérivées.
Les règles de calcul sont très proches de celles vues pour les suites, avec quelques subtilités propres aux fonctions : les limites à gauche et à droite d'un point peuvent différer, et l'on parle d'asymptote verticale lorsqu'une limite est infinie en un réel.
2. Cours
B — Limite d'une fonction en l'infini
\(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si pour tout réel \(A > 0\), l'intervalle \(]A\,;+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) suffisamment grand. On note :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]De même, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty\) si pour tout \(B < 0\), \(f(x) < B\) pour \(x\) assez grand.
Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\), la droite d'équation \(y = \ell\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
De même pour la limite en \(-\infty\).
C — Limite d'une fonction en un réel
\(f\) a pour limite \(\ell \in \mathbb{R}\) en \(a\) si \(f(x)\) se rapproche arbitrairement de \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\) (sans nécessairement être égal à \(a\)). On note \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell\).
\(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(a\) si \(f(x)\) devient arbitrairement grand quand \(x \to a\). La droite \(x = a\) est alors une asymptote verticale à la courbe de \(f\).
La limite à gauche de \(f\) en \(a\) est la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) avec \(x < a\). On note \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)\).
La limite à droite de \(f\) en \(a\) est la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) avec \(x > a\). On note \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\).
\(f\) admet une limite en \(a\) si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite existent et sont égales.
D — Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit, \(\alpha\) représente indifféremment \(-\infty\), un réel \(a\) ou \(+\infty\).
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f+g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2\) | \(\ell_1 + \ell_2\) |
| \(\ell_1\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell_1\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | F.I. |
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f \times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2\) | \(\ell_1 \times \ell_2\) |
| \(\ell_1 > 0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell_1 < 0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | F.I. |
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f/g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2 \neq 0\) | \(\ell_1/\ell_2\) |
| \(\ell_1\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell_2 \neq 0\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | F.I. |
| \(\ell_1 \neq 0\) | \(0^+\) | \(\pm\infty\) (signe de \(\ell_1\)) |
| \(\ell_1 \neq 0\) | \(0^-\) | \(\mp\infty\) (signe opposé de \(\ell_1\)) |
| \(0\) | \(0\) | F.I. |
Rappel : \(0^+\) signifie « tend vers 0 par valeurs positives », \(0^-\) par valeurs négatives.
E — Limites et comparaison
Si pour \(x\) assez grand \(f(x) \geq g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\).
Si pour \(x\) au voisinage de \(\alpha\) on a \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to\alpha} g(x) = \lim_{x\to\alpha} h(x) = \ell\), alors :
\[\lim_{x\to\alpha} f(x) = \ell\]Pour \(x \neq 0\), montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x^2} = 0\).
Puisque \(-1 \leq \cos x \leq 1\) et \(x^2 > 0\) pour \(x > 0\) :
\[-\frac{1}{x^2} \leq \frac{\cos x}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}\]Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2} = 0\). Par les gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x^2} = 0\).
Pour tout entier \(n \geq 1\) :
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \text{(l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme)}\] \[\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0 \qquad \text{(l'exponentielle écrase tout polynôme en } -\infty\text{)}\]F — Composition de limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions. Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b\) et \(\displaystyle\lim_{x\to b} g(x) = c\), alors :
\[\lim_{x\to a} g(f(x)) = c\]3. Exemples guidés
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}\).
Solution : Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[\frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3 + \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{5}{x^2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{3+0}{1-0} = \mathbf{3}\]La droite \(y = 3\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\).
Étudier les asymptotes de \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\).
Asymptotes horizontales :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2\]De même \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = 2\). La droite \(y = 2\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\).
Asymptote verticale : \(f\) n'est pas définie en \(x = 3\).
\[\lim_{x\to 3^+}\frac{2x+1}{x-3} = \frac{7}{0^+} = +\infty \qquad \lim_{x\to 3^-}\frac{2x+1}{x-3} = \frac{7}{0^-} = -\infty\]La droite \(x = 3\) est une asymptote verticale.
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} \frac{1}{x-2}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} \frac{1}{x-2}\).
Solution :
- Si \(x \to 2^-\) : \(x - 2 \to 0^-\), donc \(\dfrac{1}{x-2} \to -\infty\).
- Si \(x \to 2^+\) : \(x - 2 \to 0^+\), donc \(\dfrac{1}{x-2} \to +\infty\).
Les limites à gauche et à droite sont différentes. La droite \(x = 2\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x^2}\). (Déjà traité dans le cours — rappel de la méthode.)
On encadre : \(-\dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{\cos x}{x^2} \leq \dfrac{1}{x^2}\). Les deux bornes tendent vers 0, donc la limite est \(\mathbf{0}\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2}\).
Solution : On pose \(u = -x^2\). Alors :
\[\lim_{x\to+\infty} u = \lim_{x\to+\infty}(-x^2) = -\infty\]Et \(\displaystyle\lim_{u\to-\infty} e^u = 0\). Par le théorème de composition :
\[\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2} = \mathbf{0}\]4. Exercices progressifs
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{4x-1}{2x+3}\).
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On divise par \(x\) :
\[\frac{4x-1}{2x+3} = \frac{4-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{4-0}{2+0} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}\]La droite \(y = 2\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\).
Soit \(g(x) = \dfrac{x+2}{x-1}\). Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de la courbe de \(g\).
Asymptote horizontale :
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{x-1} = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1\]La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Asymptote verticale : \(g\) n'est pas définie en \(x = 1\).
\[\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{0^+} = +\infty \qquad \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{0^-} = -\infty\]La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale.
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\).
Forme \(+\infty - \infty\). On multiplie et divise par l'expression conjuguée \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\) :
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\]Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}) = +\infty\), donc :
\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \mathbf{0}\]Bien que les deux termes tendent chacun vers \(+\infty\), leur différence tend vers \(0\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}\).
En \(x = 2\) : numérateur \(= 8-8 = 0\) et dénominateur \(= 0\). Forme \(\dfrac{0}{0}\).
On factorise \(x^3 - 8\) en utilisant l'identité \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) avec \(a = x\), \(b = 2\) :
\[x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\]Donc pour \(x \neq 2\) :
\[\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2+2x+4\]En passant à la limite :
\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x^2+2x+4) = 4+4+4 = \mathbf{12}\]Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3} = +\infty\).
C'est un résultat direct de la propriété des croissances comparées, applicable pour tout \(n \geq 1\) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty\]Ici \(n = 3\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3} = +\infty\).
Justification intuitive : On peut écrire \(\dfrac{e^x}{x^3} = \dfrac{1}{x^3} \cdot e^x\). Même si \(\dfrac{1}{x^3} \to 0\), la croissance de \(e^x\) est tellement rapide qu'elle « écrase » \(x^3\). Formellement, pour tout \(A > 0\), il existe un rang à partir duquel \(e^x > A x^3\), donc \(\dfrac{e^x}{x^3} > A\).
Preuve par développement de \(e^x\) : Pour \(x > 0\) : \[e^x = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!} \geq \frac{x^4}{4!} = \frac{x^4}{24}\] Donc \(\dfrac{e^x}{x^3} \geq \dfrac{x^4/24}{x^3} = \dfrac{x}{24} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty\). Par comparaison, \(\dfrac{e^x}{x^3} \to +\infty\).
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2+x}{x-1}\). Étudier les asymptotes de \(f\) (horizontale, verticale, oblique).
Asymptote verticale : \(f\) n'est pas définie en \(x = 1\).
\[\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2+x}{x-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty \qquad \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2+x}{x-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty\]La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale.
Comportement en \(\pm\infty\) :
\[\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+x}{x-1} = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} x = \pm\infty\]Il n'y a pas d'asymptote horizontale. On cherche une asymptote oblique de la forme \(y = ax + b\).
Division euclidienne : On effectue \((x^2+x) \div (x-1)\) :
\[x^2 + x = (x-1)(x+2) + 2\]Vérification : \((x-1)(x+2) + 2 = x^2 + 2x - x - 2 + 2 = x^2 + x\). ✓
Donc : \[f(x) = \frac{x^2+x}{x-1} = x+2 + \frac{2}{x-1}\]
Or \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x-1} = 0\), donc :
\[\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(x+2)] = 0\]La droite \(y = x + 2\) est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Position relative : \(f(x) - (x+2) = \dfrac{2}{x-1}\).
- Pour \(x > 1\) : \(\dfrac{2}{x-1} > 0\), la courbe est au-dessus de l'asymptote oblique.
- Pour \(x < 1\) : \(\dfrac{2}{x-1} < 0\), la courbe est en-dessous.
📌 Fiche de synthèse
Types d'asymptotes
| Type | Équation | Condition |
|---|---|---|
| Horizontale | \(y = \ell\) | \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\) |
| Verticale | \(x = a\) | \(\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty\) |
| Oblique | \(y = ax+b\) | \(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)] = 0\) |
Croissances comparées à retenir
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0 \qquad (n \geq 1)\]Théorème de composition
\[\lim_{x\to a} f(x) = b \text{ et } \lim_{X\to b} g(X) = c \implies \lim_{x\to a} g(f(x)) = c\]Les 4 formes indéterminées et leur traitement
| F.I. | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| \(\infty/\infty\) | Diviser par le terme dominant | \(\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\) |
| \(\infty - \infty\) | Factoriser ou conjugué | \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) |
| \(0/0\) | Factoriser par \((x-a)\) | \(\dfrac{x^3-8}{x-2}\) |
| \(0 \times \infty\) | Réécrire en quotient | \(x \cdot e^{-x}\) |
- Oublier de distinguer limite à gauche (\(x \to a^-\)) et limite à droite (\(x \to a^+\)) : elles peuvent être différentes.
- Conclure qu'il y a une asymptote horizontale sans vérifier la limite en \(-\infty\) (elle peut être différente de celle en \(+\infty\)).
- Négliger la recherche d'une asymptote oblique quand la limite en l'infini est \(\pm\infty\).
- Appliquer les règles opératoires sans vérifier l'absence de F.I.
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Croissance comparée de \(x^n\) et \(xp\) en \(+\infty\)
Pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\displaystyle\lim_{x o+\infty} rac{x^n}{e^x} = 0\).
Lemme (par récurrence sur \(n\)) : Pour tout entier \(n \geq 0\) et tout \(x \geq 0\) :
\[e^x \geq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\]Initialisation (\(n = 0\)) : Montrons \(e^x \geq x\) pour \(x \geq 0\). Posons \(h(x) = e^x - x\). Alors \(h'(x) = e^x - 1 \geq 0\) pour \(x \geq 0\) (car la fonction exponentielle est croissante et \(e^0 = 1\)). Donc \(h\) est croissante sur \([0,+\infty)\) avec \(h(0) = 1 > 0\), d'où \(h(x) \geq 1 > 0\) : \(e^x \geq x\). ✓
Hérédité : Supposons \(e^x \geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\) pour tout \(x \geq 0\). Posons \(g(x) = e^x - \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}\). Alors :
\[g'(x) = e^x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \geq 0 \quad \text{(hypothèse de récurrence)}\]Donc \(g\) est croissante sur \([0,+\infty)\) avec \(g(0) = 1 > 0\), d'où \(g(x) \geq 1 > 0\) : \(e^x \geq \dfrac{x^{n+2}}{(n+2)!}\). ✓
Conclusion : En appliquant le lemme, pour tout \(x > 0\) :
\[0 \leq \frac{x^n}{e^x} \leq \frac{x^n}{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{(n+1)!}{x}\]Or \(\dfrac{(n+1)!}{x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0\). Par le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x} = 0\). \(\square\)