Vecteurs, droites et plans de l'espace
Vecteurs de l'espace. Droites et plans. Positions relatives.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés.
- Exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs.
- Décrire la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans.
- Lire sur une figure si deux vecteurs d'un plan, trois vecteurs de l'espace, forment une base.
- Lire sur une figure la décomposition d'un vecteur dans une base.
- Étudier géométriquement des problèmes simples de configurations dans l'espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité).
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
Aucune démonstration exigible dans le BO pour ce chapitre.
1. Introduction
La géométrie de l'espace est une extension naturelle de la géométrie plane. On travaille désormais dans un espace à trois dimensions, où les points sont repérés par trois coordonnées \((x, y, z)\). Les notions de vecteurs, de droites et de plans se généralisent, mais de nouvelles configurations apparaissent : deux droites peuvent être gauches (non coplanaires), un plan peut être parallèle à une droite sans la contenir, etc.
La maîtrise du repère de l'espace \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et du calcul vectoriel en coordonnées est la clé pour résoudre efficacement les problèmes de géométrie dans l'espace.
2. Cours
A — Vecteurs de l'espace
La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la transformation qui à tout point \(M\) associe le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}\).
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur, c'est-à-dire si \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) et tout point \(A\) de l'espace, il existe un unique point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{u}\).
- Addition (règle du parallélogramme) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
- Relation de Chasles : Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) de l'espace : \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\]
- Vecteur nul : \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\).
- Multiplication par un scalaire : Pour \(k \in \mathbb{R}\), \(k\overrightarrow{u}\) est le vecteur colinéaire à \(\overrightarrow{u}\), de norme \(|k|\,\|\overrightarrow{u}\|\), de même sens si \(k > 0\), de sens opposé si \(k < 0\).
- \(k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \iff k = 0\) ou \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\).
- Distributivité : \((k+k')\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{u} + k'\overrightarrow{u}\) et \(k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\).
B — Droites et plans de l'espace
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\) (ou \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\)).
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
- Par deux points distincts passe une unique droite.
- Par trois points non alignés passe un unique plan.
- Si une droite a deux de ses points dans un plan, elle est entièrement incluse dans ce plan.
- Deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants selon une droite.
Droite \((AB)\) : C'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}\) pour un certain \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est appelé vecteur directeur de la droite.
Plan \((ABC)\) : C'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}\) pour certains \(x, y \in \mathbb{R}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont des vecteurs directeurs du plan.
C — Positions relatives de droites et de plans
- Coplanaires : les deux droites sont dans un même plan. Dans ce cas, elles sont soit parallèles (sans point commun), soit sécantes (un point commun).
- Non coplanaires (gauches) : les deux droites ne sont dans aucun plan commun. Elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
- Droite incluse dans le plan : tous les points de la droite sont dans le plan.
- Droite strictement parallèle au plan : aucun point commun, la droite est parallèle à une droite du plan.
- Droite sécante au plan : exactement un point commun (le point de percée).
- Plans parallèles : aucun point commun.
- Plans sécants : leur intersection est une droite.
- Plans confondus : ils sont identiques.
Si deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) contiennent chacun une droite parallèle à l'autre, alors leur intersection est une droite parallèle à ces deux droites.
Si deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont parallèles, tout plan \(\mathcal{Q}\) qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection \(\mathcal{Q} \cap \mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{Q} \cap \mathcal{P}_2\) sont parallèles entre elles.
D — Repère de l'espace
Un triplet de vecteurs \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) forme une base de l'espace si aucun des trois vecteurs n'est combinaison linéaire des deux autres (i.e. ils sont non coplanaires).
Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine \(O\) et d'une base \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\). On le note \((O\,;\,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).
Dans un repère \((O\,;\,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) :
- Tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) s'écrit de manière unique : \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\). On note \(\overrightarrow{u}(x\,;\,y\,;\,z)\).
- Tout point \(M\) a des coordonnées uniques \((x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)\) telles que \(\overrightarrow{OM} = x_M\overrightarrow{i} + y_M\overrightarrow{j} + z_M\overrightarrow{k}\).
Soient \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)\) deux points du repère.
- Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A\end{pmatrix}\]
- Milieu de \([AB]\) : \[I\!\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]
- Distance \(AB\) : \[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\]
La droite passant par \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) avec le vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(a\,;\,b\,;\,c)\) admet la représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}\]Un point \(P(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P)\) est sur cette droite si et seulement si le système en \(t\) admet une solution.
3. Exemples guidés
Simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\).
Solution : On applique la relation de Chasles successivement :
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\]Ce résultat est toujours vrai : la somme des vecteurs d'un contour fermé est le vecteur nul.
Soient \(A(1\,;\,2\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,-1\,;\,0)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\), le milieu \(I\) de \([AB]\) et la distance \(AB\).
Solution :
- Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1 \\ -1-2 \\ 0-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ -3\end{pmatrix}\]
- Milieu \(I\) : \[I\!\left(\frac{1+3}{2}\,;\,\frac{2+(-1)}{2}\,;\,\frac{3+0}{2}\right) = I\!\left(2\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)\]
- Distance \(AB\) : \[AB = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9+9} = \sqrt{22}\]
Soit la droite \(d\) passant par \(A(2\,;\,1\,;\,-1)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(1\,;\,-2\,;\,3)\). Donner une représentation paramétrique. Le point \(P(4\,;\,-3\,;\,5)\) appartient-il à \(d\) ?
Représentation paramétrique : \[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]
Test pour \(P(4\,;\,-3\,;\,5)\) : On cherche \(t\) tel que :
\[4 = 2 + t \Rightarrow t = 2 \qquad -3 = 1 - 2t \Rightarrow t = 2 \qquad 5 = -1 + 3t \Rightarrow t = 2\]Les trois équations donnent la même valeur \(t = 2\). Donc \(P \in d\). ✓
Montrer que \(A(1\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,1\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,0\,;\,1)\) ne sont pas alignés.
Solution :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\]Ces vecteurs seraient colinéaires s'il existait \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\). Cela impliquerait \(-1 = -k\), \(1 = 0\) et \(0 = k\), ce qui est impossible. Donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, et \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
4. Exercices progressifs
Soient \(A(2\,;\,-1\,;\,3)\) et \(B(0\,;\,4\,;\,1)\).
- Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
- Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
- Calculer la distance \(AB\).
1. Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-2\\4-(-1)\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\5\\-2\end{pmatrix}\]
2. Milieu \(I\) : \[I\!\left(\frac{2+0}{2}\,;\,\frac{-1+4}{2}\,;\,\frac{3+1}{2}\right) = I\!\left(1\,;\,\frac{3}{2}\,;\,2\right)\]
3. Distance \(AB\) : \[AB = \sqrt{(-2)^2+5^2+(-2)^2} = \sqrt{4+25+4} = \sqrt{33}\]
Soit la droite \(d\) passant par \(A(1\,;\,0\,;\,2)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(2\,;\,-1\,;\,3)\).
- Donner une représentation paramétrique de \(d\).
- Le point \(P(3\,;\,-1\,;\,5)\) appartient-il à \(d\) ?
1. Représentation paramétrique : \[\begin{cases}x = 1+2t \\ y = -t \\ z = 2+3t\end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]
2. Test pour \(P(3\,;\,-1\,;\,5)\) :
- Équation en \(x\) : \(3 = 1+2t \Rightarrow t = 1\)
- Équation en \(y\) : \(-1 = -t \Rightarrow t = 1\)
- Équation en \(z\) : \(5 = 2+3t \Rightarrow t = 1\)
Les trois équations donnent \(t = 1\). Donc \(P \in d\). ✓
Soit \(O\) l'origine du repère. Les points \(A(1\,;\,1\,;\,0)\), \(B(2\,;\,0\,;\,1)\), \(C(0\,;\,2\,;\,-1)\) sont-ils coplanaires avec \(O\) ? (c'est-à-dire \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) sont-ils coplanaires ?)
Trois vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) sont coplanaires si et seulement si l'un est combinaison linéaire des deux autres. Cherchons si \(\overrightarrow{OC} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}\).
\[\begin{cases}0 = \alpha + 2\beta \\ 2 = \alpha + 0\beta \\ -1 = 0\alpha + \beta\end{cases}\]De la deuxième équation : \(\alpha = 2\). De la troisième : \(\beta = -1\).
Vérification dans la première : \(\alpha + 2\beta = 2 + 2(-1) = 0\). ✓
Donc \(\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\). Les trois vecteurs sont coplanaires, et \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) sont bien dans un même plan.
Étudier les positions relatives des droites \(d_1\) et \(d_2\) : \[d_1 : \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-t\end{cases} \qquad d_2 : \begin{cases}x=2+s\\y=1+s\\z=1-s\end{cases}\]
Les vecteurs directeurs sont \(\overrightarrow{u_1}(1\,;\,2\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{u_2}(1\,;\,1\,;\,-1)\).
Colinéarité ? \(\overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{u_2}\) impliquerait \(1=k\), \(2=k\), \(-1=-k\), ce qui est impossible. Les droites ne sont pas parallèles.
Intersection ? On cherche \(t, s\) tels que :
\[\begin{cases}1+t = 2+s \\ 2t = 1+s \\ -t = 1-s\end{cases}\]De l'équation (1) : \(t = 1+s\). On substitue dans (2) : \(2(1+s) = 1+s \Rightarrow 2+2s = 1+s \Rightarrow s = -1\), donc \(t = 0\).
Vérification dans (3) : \(-t = -0 = 0\) et \(1-s = 1-(-1) = 2\). On a \(0 \neq 2\) : contradiction.
Les droites ne sont pas parallèles et ne se coupent pas : elles sont gauches (non coplanaires).
On considère un cube \(ABCDA'B'C'D'\) de côté 1, avec \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A'(0;0;1)\), \(B'(1;0;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(0;1;1)\). Montrer que les diagonales \((AG)\) et \((BH)\) où \(G = C'\) et \(H = D'\) sont des droites gauches.
Posons \(G = C'(1;1;1)\) et \(H = D'(0;1;1)\).
Vecteurs directeurs :
\[\overrightarrow{AC'}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD'}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\]Colinéarité ? \((1;1;1)\) et \((-1;1;1)\) : rapport \(-1/1 \neq 1/1\). Non colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.
Intersection ? On cherche \(t, s\) tels que :
\[A + t\overrightarrow{AC'} = B + s\overrightarrow{BD'}\] \[\begin{cases}t = 1 - s \\ t = s \\ t = s\end{cases}\]Les équations (2) et (3) donnent \(t = s\). Substituant dans (1) : \(s = 1-s \Rightarrow 2s = 1 \Rightarrow s = \tfrac{1}{2}\), donc \(t = \tfrac{1}{2}\).
Vérification dans (1) : \(t = \tfrac{1}{2}\) et \(1 - s = \tfrac{1}{2}\). ✓ Hmm, il semblerait que ces droites se coupent.
Point d'intersection : \(A + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = (0+\tfrac{1}{2}\,;\,0+\tfrac{1}{2}\,;\,0+\tfrac{1}{2}) = (\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2})\). Ce point est bien le centre du cube.
En réalité, \(AC'\) et \(BD'\) sont les deux grandes diagonales du cube et se croisent en son centre. Pour trouver deux droites vraiment gauches, on peut prendre \((AB')\) et \((DC')\) :
\(\overrightarrow{AB'} = (1;0;1)\) et \(\overrightarrow{DC'} = (1;0;1)\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles (pas gauches non plus).
Prenons \((AB')\) et \((CD')\) : \(\overrightarrow{AB'} = (1;0;1)\), \(\overrightarrow{CD'} = (-1;0;1)\). Non colinéaires. Intersection : \(t = s_0\) ... ce système n'a pas de solution (les droites sont gauches). Ces deux arêtes d'un cube constituent un exemple classique de droites gauches.
Soient \(A(1\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,0\,;\,1)\). Exprimer \(\overrightarrow{AM}\) pour un point générique \(M(x;y;z)\) du plan \((ABC)\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
On calcule les vecteurs :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y\\z\end{pmatrix}\]M est dans le plan \((ABC)\) si et seulement si il existe \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) tels que \(\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}\) :
\[\begin{cases}x-1 = -\lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu\end{cases}\]On tire \(\lambda = y\) et \(\mu = z\), et la première équation donne \(x - 1 = -y - z\), soit \(x + y + z = 1\).
Le plan \((ABC)\) a pour équation cartésienne \(\boxed{x + y + z = 1}\), et pour un point générique \(M\) de ce plan :
\[\overrightarrow{AM} = y\,\overrightarrow{AB} + z\,\overrightarrow{AC}\]📌 Fiche de synthèse
Formules de base en coordonnées
| Objet | Formule |
|---|---|
| \(\overrightarrow{AB}\) | \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\) |
| Milieu de \([AB]\) | \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Distance \(AB\) | \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) |
| Droite \((A, \overrightarrow{u})\) | \(x = x_A+at\,,\ y = y_A+bt\,,\ z = z_A+ct\) |
Positions relatives — synthèse
| Objets | Cas possibles |
|---|---|
| Deux droites | Parallèles / Sécantes / Gauches |
| Droite et plan | Incluse / Strictement parallèle / Sécante |
| Deux plans | Confondus / Parallèles / Sécants (droite) |
Relation de Chasles
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \qquad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\]- Confondre deux droites non parallèles et non sécantes (elles peuvent être gauches dans l'espace).
- Oublier qu'un repère de l'espace exige trois vecteurs non coplanaires.
- Pour vérifier qu'un point est sur une droite : résoudre le système paramétrique et vérifier la cohérence (même valeur de \(t\) dans les 3 équations).