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Exercices interactifs
Ces exercices courts permettent de tester les automatismes essentiels avant la Terminale. Chaque exercice est associé à l’éditeur de correction du site : réponse rédigée, formules, fichiers, scan et suivi de maîtrise.
Exercice 1 — Calcul algébrique
Développer puis réduire : \(A=(2x-3)(x+5)\).
Factoriser ensuite : \(B=x^2-16\).
Correction type
\(A=2x^2+10x-3x-15=2x^2+7x-15\).
\(B=x^2-16=(x-4)(x+4)\).
Exercice 2 — Équation du second degré
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(x^2-5x+6=0\).
Correction type
\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), donc les solutions sont \(2\) et \(3\).
Exercice 3 — Tableau de signes
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((x-1)(x+4)>0\).
Correction type
Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe. On obtient \(]-\infty;-4[\cup]1;+\infty[\).
Exercice 4 — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition de \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\).
Correction type
Il faut \(x^2-3x+2\geq0\), soit \((x-1)(x-2)\geq0\). Donc \(D_f=]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\).
Exercice 5 — Dérivée
Calculer la dérivée de \(f(x)=x^3-4x+1\), puis résoudre \(f'(x)=0\).
Correction type
\(f'(x)=3x^2-4\). Donc \(f'(x)=0\Leftrightarrow x^2=\frac{4}{3}\), soit \(x=\pm\frac{2}{\sqrt3}\).
Exercice 6 — Étude de variations
Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction type
\(f'(x)=2x-4\). Elle est négative si \(x2\), positive si \(x>2\). Donc \(f\) décroît sur \(]-\infty;2]\), puis croît sur \([2;+\infty[\).
Exercice 7 — Exponentielle
Simplifier \(e^2\times e^3\), puis résoudre \(e^x=e^5\).
Correction type
\(e^2\times e^3=e^5\). Comme la fonction exponentielle est injective, \(e^x=e^5\Leftrightarrow x=5\).
Exercice 8 — Suite arithmétique
Une suite arithmétique vérifie \(u_0=5\) et a pour raison \(3\). Donner \(u_n\), puis calculer \(u_{12}\).
Correction type
Pour une suite arithmétique, \(u_n=u_0+nr\). Donc \(u_n=5+3n\), puis \(u_{12}=41\).
Exercice 9 — Suite géométrique
Une suite géométrique vérifie \(v_0=2\) et a pour raison \(4\). Donner \(v_n\), puis calculer \(v_5\).
Correction type
Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0q^n\). Donc \(v_n=2\times4^n\), puis \(v_5=2\times1024=2048\).
Exercice 10 — Vecteurs
Dans un repère, calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) avec \(A(1;2)\) et \(B(4;-3)\).
Correction type
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(4-1;-3-2)=(3;-5)\).
Exercice 11 — Probabilités
Dans une classe, 18 élèves pratiquent un sport et 12 n’en pratiquent pas. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu’il pratique un sport.
Correction type
Il y a \(18+12=30\) élèves. La probabilité vaut \(\frac{18}{30}=\frac35=0{,}6\).
Exercice 12 — Synthèse
On définit \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{4}\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
- Conjecturer le sens de variation.
- Conjecturer une limite possible.
Correction type
\(u_1=2\), \(u_2=2\), \(u_3=2\). La suite est constante égale à \(2\), donc sa limite est \(2\).
Exercice 13 — Factorisation avancée
Factoriser complètement : \(K=x^3-x^2-x+1\).
Correction type
On regroupe : \(K=x^2(x-1)-1(x-1)=(x-1)(x^2-1)\). Donc \(K=(x-1)^2(x+1)\).
Exercice 14 — Fraction rationnelle
Simplifier en précisant le domaine : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}\).
Correction type
Le domaine exclut \(x=0\) et \(x=2\). Puis \(\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\dfrac{x+2}{x}\).
Exercice 15 — Inéquation rationnelle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{x-3}{x+2}\geq0\).
Correction type
La valeur interdite est \(-2\), le zéro est \(3\). Le quotient est positif sur \(]-\infty;-2[\cup[3;+\infty[\).
Exercice 16 — Parité
Déterminer si la fonction \(f(x)=x^3-2x\) est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
Correction type
\(f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-f(x)\). La fonction est impaire.
Exercice 17 — Tangente
Soit \(f(x)=x^2-2x+3\). Donner l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(1\).
Correction type
\(f(1)=2\) et \(f'(x)=2x-2\), donc \(f'(1)=0\). La tangente est \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=2\).
Exercice 18 — Dériver avec exponentielle
Dériver \(f(x)=(x-2)e^x\), puis factoriser \(f'(x)\).
Correction type
\(f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x\).
Exercice 19 — Limite de suite
Déterminer la limite de \(u_n=\dfrac{2n^2-1}{n^2+3}\).
Correction type
On compare les termes de plus haut degré : \(\dfrac{2n^2-1}{n^2+3}\to\dfrac{2}{1}=2\).
Exercice 20 — Suite définie par une relation
Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+1\). Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), puis conjecturer le comportement de la suite.
Correction type
\(u_1=3\), \(u_2=7\), \(u_3=15\). Les termes augmentent rapidement ; on peut conjecturer que la suite est croissante et tend vers \(+\infty\).
Exercice 21 — Probabilité conditionnelle
Dans une classe, \(60\%\) des élèves font anglais et \(20\%\) font anglais et espagnol. Calculer la probabilité de faire espagnol sachant que l’élève fait anglais.
Correction type
\(P_A(E)=\dfrac{P(A\cap E)}{P(A)}=\dfrac{0{,}20}{0{,}60}=\dfrac13\).
Exercice 22 — Colinéarité
Les vecteurs \(\vec u(3;6)\) et \(\vec v(1;2)\) sont-ils colinéaires ? Justifier.
Correction type
On calcule \(3\times2-6\times1=0\). Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 23 — Trigonométrie
Résoudre dans \([0;2\pi]\) : \(\cos x=\dfrac12\).
Correction type
Sur \([0;2\pi]\), \(\cos x=\frac12\) pour \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\).
Exercice 24 — Synthèse fonction
Soit \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). Calculer \(f'(x)\), factoriser, puis donner les points critiques.
Correction type
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Les points critiques sont \(x=1\) et \(x=3\).