Livret de transition
J'entre en Terminale
Un parcours de révision pour consolider les bases de Première spécialité maths avant d'attaquer sereinement la Terminale.
Objectif du livret
Ce livret rassemble les savoir-faire fondamentaux à maîtriser avant l'entrée en Terminale spécialité mathématiques : calculer proprement, résoudre, dériver, étudier des variations, raisonner sur les suites et retrouver les bases utiles en probabilités et géométrie.
Automatismes
Développer, factoriser, simplifier, résoudre rapidement et sans hésitation.
Méthodes
Organiser une résolution avec tableaux de signes, dérivées et raisonnements structurés.
Prise d'avance
Aborder les suites, l'exponentielle et les premiers raisonnements de Terminale.
Programme de révision
Ces cours reprennent les notions du livret avec définitions, propriétés, méthodes et exemples : formules à connaître, méthodes de rédaction et points de vigilance avant l’entrée en Terminale.
01Calcul algébrique indispensable
Développer, factoriser, simplifier et reconnaître les formes utiles pour résoudre.
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Calcul algébrique indispensable
Développer, factoriser, simplifier et reconnaître les formes utiles pour résoudre.
Cours de révision
Le calcul algébrique sert dans tous les chapitres : résoudre une équation, étudier une fonction, simplifier une fraction ou reconnaître une dérivée. Avant la Terminale, il faut savoir passer rapidement d’une forme développée à une forme factorisée selon l’objectif.
Formules à connaître
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
- \(a(b+c)=ab+ac\)
Méthode
- Développer pour comparer, réduire ou identifier les coefficients.
- Factoriser pour résoudre, étudier un signe ou simplifier une fraction.
- Pour une fraction rationnelle, commencer par exclure les valeurs interdites.
Point de vigilance : une simplification ne supprime jamais les valeurs interdites du domaine initial.
Choisir la bonne forme d’une expression
Utile pour réduire, comparer deux expressions ou identifier les coefficients d’un polynôme.
Exemple : \((x+2)^2=x^2+4x+4\).
Utile pour résoudre une équation produit nul ou construire un tableau de signes.
Exemple : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Utile pour alléger un calcul, mais seulement après avoir précisé les valeurs interdites.
Exemple : \(\cfrac{x(x+1)}{x}=x+1\), avec \(x\neq0\).
Identités remarquables et factorisations
| Expression | Forme utile | Usage principal |
|---|---|---|
| \((a+b)^2\) | \(a^2+2ab+b^2\) | Développer un carré. |
| \((a-b)^2\) | \(a^2-2ab+b^2\) | Développer ou reconnaître un carré parfait. |
| \(a^2-b^2\) | \((a-b)(a+b)\) | Factoriser une différence de deux carrés. |
| \(ab+ac\) | \(a(b+c)\) | Mettre un facteur commun en évidence. |
Calculs de puissances
Les règles de puissances permettent de simplifier rapidement des produits, des quotients et des puissances de puissances. Elles sont indispensables pour le calcul algébrique, les suites géométriques et l’exponentielle.
| Règle | Condition | Exemple |
|---|---|---|
| \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) | Même base | \(x^3\times x^5=x^8\) |
| \(\cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | \(a\neq0\) | \(\cfrac{2^7}{2^3}=2^4=16\) |
| \((a^m)^n=a^{mn}\) | Puissance d’une puissance | \((x^2)^4=x^8\) |
| \((ab)^n=a^n b^n\) | Puissance d’un produit | \((3x)^2=9x^2\) |
| \(\left(\cfrac ab\right)^n=\cfrac{a^n}{b^n}\) | \(b\neq0\) | \(\left(\cfrac{x}{2}\right)^3=\cfrac{x^3}{8}\) |
| \(a^{-n}=\cfrac1{a^n}\) | \(a\neq0\) | \(5^{-2}=\cfrac1{25}\) |
\(\cfrac{3x^4\times 2x^3}{x^2}=6x^{4+3-2}=6x^5\), avec \(x\neq0\).
Ce qu’il faut savoir faire
Développer consiste à transformer un produit en somme. Factoriser fait l’inverse : on transforme une somme en produit. En révision, le bon réflexe est de choisir la forme adaptée à la question : forme développée pour comparer des coefficients, forme factorisée pour résoudre ou étudier un signe.
\((2x-3)(x+5)=2x^2+10x-3x-15=2x^2+7x-15\). Pour factoriser \(x^2-16\), on reconnaît une différence de carrés : \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).
- Avant de simplifier une fraction, factoriser le numérateur et le dénominateur.
- Quand on simplifie par un facteur, vérifier que ce facteur n’est pas nul.
- Ne pas confondre \((a+b)^2\) avec \(a^2+b^2\).
02Équations, inéquations et tableaux de signes
Second degré, tableaux de signes, inéquations produit, quotient et ensembles solutions.
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Équations, inéquations et tableaux de signes
Second degré, tableaux de signes, inéquations produit, quotient et ensembles solutions.
Cours de révision
Résoudre, ce n’est pas seulement calculer une valeur : il faut choisir une méthode, respecter les valeurs interdites et conclure avec un ensemble solution clair.
Second degré
Pour \(ax^2+bx+c=0\), on calcule \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta>0\), il y a deux racines ; si \(\Delta=0\), une racine double ; si \(\Delta<0\), aucune racine réelle.
Inéquations
Pour une inéquation produit ou quotient, on factorise, on repère les zéros et les valeurs interdites, puis on dresse un tableau de signes.
Solutions de l’équation \(ax^2+bx+c=0\)
Après avoir calculé \(\Delta=b^2-4ac\), on conclut selon son signe.
Deux solutions réelles :
\(x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\), \(\quad x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(S=\{x_1;x_2\}\)
Une solution réelle double :
\(x_0=-\cfrac b{2a}\)
\(S=\{x_0\}\)
Aucune solution réelle.
Le trinôme ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\).
\(S=\varnothing\)
Tableau de signe d’un polynôme du second degré
Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\), le signe dépend de \(a\) et du discriminant \(\Delta=b^2-4ac\).
| Cas | Racines | Signe de \(P(x)\) |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux racines \(x_1<x_2\) | Signe de \(a\) sur \(]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[\), signe opposé à celui de \(a\) sur \(]x_1;x_2[\), et \(P(x)=0\) en \(x_1\) et \(x_2\). |
| \(\Delta=0\) | Une racine double \(x_0=-\cfrac b{2a}\) | Signe de \(a\) pour tout \(x\neq x_0\), et \(P(x_0)=0\). |
| \(\Delta<0\) | Aucune racine réelle | Signe de \(a\) pour tout réel \(x\). |
Quand \(\Delta>0\), le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
Méthode complète
- Identifier le type d’équation : premier degré, produit nul, second degré, quotient, équation avec exponentielle.
- Transformer l’expression si nécessaire : développer, factoriser ou tout ramener dans un seul membre.
- Résoudre en respectant le domaine de définition.
- Conclure avec \(S=\{\ldots\}\) ou avec des intervalles.
Pour résoudre \((x-2)(x+3)\geq0\), on place les zéros \(-3\) et \(2\). Le produit est positif sur \(]-\infty;-3]\cup[2;+\infty[\).
Dans une inéquation quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites et ne peuvent jamais appartenir à la solution.
03Fonctions réelles et dérivation
Domaines, variations, tangentes, dérivées usuelles et études complètes.
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Fonctions réelles et dérivation
Domaines, variations, tangentes, dérivées usuelles et études complètes.
Cours de révision
Une étude de fonction commence par le domaine de définition, puis se poursuit avec les images, les antécédents, la parité éventuelle, la dérivée et les variations.
Fonctions
- Une fonction paire vérifie \(f(-x)=f(x)\).
- Une fonction impaire vérifie \(f(-x)=-f(x)\).
- La forme canonique d’un trinôme permet de lire le sommet et les variations.
Dérivation
- Le signe de \(f'(x)\) donne les variations de \(f\).
- \((uv)'=u'v+uv'\)
- \(\left(\cfrac uv\right)'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
- La tangente en \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Dans un tableau de variations, on justifie toujours le signe de la dérivée avant de conclure sur les variations.
Domaine, images et antécédents
C’est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe.
On exclut notamment les dénominateurs nuls et les racines carrées de nombres négatifs.
L’image de \(a\) est le nombre \(f(a)\).
On remplace \(x\) par \(a\) dans l’expression de la fonction.
Chercher les antécédents de \(b\), c’est résoudre \(f(x)=b\).
Il peut y en avoir aucun, un ou plusieurs.
Dérivées usuelles et opérations
| Fonction | Dérivée | À retenir |
|---|---|---|
| \(k\) | \(0\) | Une constante ne varie pas. |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | Valable pour la fonction \(x\mapsto x^n\). |
| \(\cfrac1x\) | \(-\cfrac1{x^2}\) | Sur \(] -\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\). |
| \(uv\) | \(u'v+uv'\) | Formule du produit. |
| \(\cfrac uv\) | \(\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\) | Avec \(v\neq0\). |
On ne généralise pas cette formule à \((u(x))^n\) dans ce cours : les dérivées composées ne sont pas retenues ici.
Passer de la dérivée aux variations
La fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle étudié.
La fonction \(f\) est décroissante sur l’intervalle étudié.
Un passage de \(+\) à \(-\) donne un maximum ; un passage de \(-\) à \(+\) donne un minimum.
Étude de fonction : ordre de travail
- Déterminer le domaine de définition.
- Calculer les images ou antécédents demandés.
- Calculer la dérivée \(f'(x)\), puis la factoriser si possible.
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Construire le tableau de variations et lire les extremums.
La tangente en \(a\) utilise deux informations : le coefficient directeur \(f'(a)\) et le point \((a;f(a))\). Sa formule est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
- Une fonction est croissante quand \(f'(x)\geq0\) sur l’intervalle étudié.
- Une fonction est décroissante quand \(f'(x)\leq0\) sur l’intervalle étudié.
- Un changement de signe de \(f'\) peut faire apparaître un maximum ou un minimum local.
04Fonction exponentielle
Propriétés de calcul, croissance, équations, inéquations et dérivation.
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Fonction exponentielle
Propriétés de calcul, croissance, équations, inéquations et dérivation.
Cours de révision
La fonction exponentielle est centrale en Terminale : elle intervient dans les modèles de croissance, les études de fonctions, les suites et les équations différentielles.
Propriétés
- \(e^0=1\), \(e^1=e\)
- \(e^{a+b}=e^a e^b\)
- \(\cfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\)
- \((e^a)^b=e^{ab}\)
- \(e^x>0\) pour tout réel \(x\)
Résoudre et dériver
- \(e^A=e^B\Longleftrightarrow A=B\)
- Comme \(e^x\) est strictement croissante, \(e^A<e^B\Longleftrightarrow A<B\)
- \((e^x)'=e^x\)
- Si \(f(x)=e^{ax+b}\), alors \(f'(x)=ae^{ax+b}\).
Calculer avec les exponentielles
| Propriété | Exemple | Attention |
|---|---|---|
| \(e^{a+b}=e^ae^b\) | \(e^{x+2}=e^x e^2\) | Les exposants s’additionnent quand on multiplie. |
| \(\cfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) | \(\cfrac{e^{3x}}{e^x}=e^{2x}\) | Le dénominateur \(e^b\) n’est jamais nul. |
| \((e^a)^b=e^{ab}\) | \((e^{2x})^3=e^{6x}\) | On multiplie les exposants. |
| \(e^x>0\) | \((x-4)e^x\) a le signe de \(x-4\) | L’exponentielle ne change pas le signe. |
Résoudre avec l’exponentielle
\(e^A=e^B\Longleftrightarrow A=B\).
Exemple : \(e^{2x-1}=e^5\Rightarrow 2x-1=5\).
La fonction exponentielle est strictement croissante.
\(e^A\leq e^B\Longleftrightarrow A\leq B\).
Si \(f(x)=e^{ax+b}\), alors \(f'(x)=ae^{ax+b}\).
Comme \(e^{ax+b}>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\).
À maîtriser avant la Terminale
L’exponentielle transforme les additions dans l’exposant en produits. Elle est toujours positive, ce qui simplifie souvent les études de signe : dans \((x-1)e^x\), le signe dépend seulement de \(x-1\).
\(e^{2x+1}e^{1-2x}=e^{(2x+1)+(1-2x)}=e^2\). Pour résoudre \(e^{3x}=e^{1-x}\), on utilise l’injectivité : \(3x=1-x\), donc \(x=\cfrac14\).
Ne jamais écrire que \(e^a+e^b=e^{a+b}\). Cette formule est fausse : seules les multiplications permettent d’additionner les exposants.
05Suites numériques
Suites explicites, suites définies par une relation, suites arithmétiques, géométriques et limites simples.
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Suites numériques
Suites explicites, suites définies par une relation, suites arithmétiques, géométriques et limites simples.
Cours de révision
Les suites permettent de modéliser une évolution discrète. Il faut distinguer une définition explicite, qui donne directement \(u_n\), d’une définition récurrente, qui calcule chaque terme à partir du précédent.
Suites de référence
- Arithmétique : \(u_{n+1}=u_n+r\), donc \(u_n=u_0+nr\).
- Géométrique : \(u_{n+1}=q u_n\), donc \(u_n=u_0q^n\).
- Si \(|q|<1\), alors \(q^n\to0\).
Suites définies par relation
- Calculer les premiers termes à partir de \(u_0\) ou \(u_1\).
- Observer si les termes augmentent, diminuent ou semblent se stabiliser.
- Formuler une conjecture claire à partir des premiers termes.
Deux façons de définir une suite
On connaît directement \(u_n\) en fonction de \(n\).
Exemple : \(u_n=3n^2-2\). Alors \(u_4=3\times4^2-2=46\).
On connaît un premier terme, puis une relation pour passer d’un terme au suivant.
Exemple : \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=2u_n-1\). Alors \(u_1=9\), \(u_2=17\).
Suites arithmétiques et géométriques
| Type | Reconnaître | Formule explicite | Somme |
|---|---|---|---|
| Arithmétique | \(u_{n+1}-u_n=r\) | \(u_n=u_0+nr\) | \(u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\cfrac{u_0+u_n}{2}\) |
| Géométrique | \(\cfrac{u_{n+1}}{u_n}=q\) si \(u_n\neq0\) | \(u_n=u_0q^n\) | Si \(q\neq1\), \(u_0+\cdots+u_n=u_0\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) |
Étudier le sens de variation
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Si \(u_{n+1}-u_n>0\), la suite est croissante.
Le sens dépend de la raison \(r\).
\(r>0\) : croissante ; \(r<0\) : décroissante ; \(r=0\) : constante.
Si \(u_0>0\), le sens dépend de \(q\).
\(q>1\) : croissante ; \(0<q<1\) : décroissante.
Reconnaître les situations classiques
Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre : les écarts \(u_{n+1}-u_n\) sont constants. Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre : les quotients \(\cfrac{u_{n+1}}{u_n}\) sont constants quand les termes ne sont pas nuls.
Pour une suite arithmétique, la somme des termes de \(u_0\) à \(u_n\) vaut \((n+1)\cfrac{u_0+u_n}{2}\). Pour une suite géométrique de raison \(q\neq1\), \(1+q+\cdots+q^n=\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
- Pour une suite donnée par formule explicite, on remplace directement \(n\).
- Pour une suite donnée par relation, on calcule terme après terme.
- Une conjecture doit être formulée avec prudence : elle décrit ce qu’on observe, elle ne remplace pas une démonstration.
06Probabilités, vecteurs et trigonométrie
Conditionnement, indépendance, vecteurs, distances, milieux et colinéarité.
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Probabilités, vecteurs et trigonométrie
Conditionnement, indépendance, vecteurs, distances, milieux et colinéarité.
Cours de révision
Ces outils servent dans les exercices de synthèse : ils demandent une lecture précise de l’énoncé et une rédaction courte mais rigoureuse.
Probabilités
- \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
- \(P_A(B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
- \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
Géométrie et trigonométrie
- \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}\)
- \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
- Deux vecteurs \(\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) sont colinéaires si \(xy'-yx'=0\).
- Les valeurs usuelles de \(\sin\) et \(\cos\) doivent être connues sur le cercle trigonométrique.
Probabilités : organiser le calcul
\(A\cup B\) signifie “\(A\) ou \(B\)”.
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P_A(B)\) signifie probabilité de \(B\) sachant \(A\).
\(P_A(B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), avec \(P(A)\neq0\).
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
Arbre pondéré de probabilités
Un arbre permet de représenter une expérience en plusieurs étapes. On multiplie les probabilités le long d’une branche et on additionne les branches qui mènent au même événement.
\(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\) et \(P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)\).
Variables aléatoires
Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire. Sa loi donne les valeurs possibles et les probabilités associées.
| Notion | Définition | Exemple de rédaction |
|---|---|---|
| Loi de \(X\) | Tableau des valeurs \(x_i\) et des probabilités \(P(X=x_i)\). | On vérifie que la somme des probabilités vaut \(1\). |
| Espérance | \(E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\cdots+x_nP(X=x_n)\) | C’est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. |
| Variance | \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) | Elle mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. |
| Autre formule | \(V(X)=(x_1-E(X))^2P(X=x_1)+\cdots+(x_n-E(X))^2P(X=x_n)\) | Utile pour comprendre l’écart à la moyenne. |
| Interprétation | Si \(E(X)>0\), le jeu est favorable en moyenne ; si \(E(X)<0\), il est défavorable. Plus \(V(X)\) est grande, plus les résultats sont dispersés. | On conclut toujours avec une phrase en contexte. |
Si \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(1\), \(5\) avec probabilités \(0{,}3\), \(0{,}5\), \(0{,}2\), alors \(E(X)=-2\times0{,}3+1\times0{,}5+5\times0{,}2=0{,}9\). On calcule aussi \(E(X^2)=4\times0{,}3+1\times0{,}5+25\times0{,}2=6{,}7\), donc \(V(X)=6{,}7-0{,}9^2=5{,}89\).
Géométrie repérée : formules clés
| Objectif | Formule | Utilisation |
|---|---|---|
| Vecteur | \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}\) | Passer des points aux coordonnées du vecteur. |
| Distance | \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) | Calculer une longueur dans un repère orthonormé. |
| Milieu | \(I\left(\cfrac{x_A+x_B}{2};\cfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) | Trouver le centre d’un segment. |
| Colinéarité | Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\), \(xy'-yx'=0\) | Prouver que deux vecteurs sont colinéaires ou que des points sont alignés. |
Trigonométrie : valeurs usuelles
Ces valeurs se lisent sur le premier quadrant du cercle trigonométrique. Les autres angles se retrouvent ensuite par symétrie et avec les signes de \(\cos\) et \(\sin\).
| Angle | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{4}\) | \(\cfrac{\pi}{3}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\) | \(1\) | \(\cfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\cfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\cfrac12\) | \(0\) |
| \(\sin\) | \(0\) | \(\cfrac12\) | \(\cfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\cfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Lecture et rédaction
En probabilités, l’essentiel est de traduire correctement l’énoncé : définir les événements, repérer les intersections, unions et conditions, puis choisir la formule adaptée. En géométrie analytique, on travaille avec les coordonnées pour prouver un alignement, calculer une longueur ou identifier un milieu.
Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d’une branche et on additionne les branches qui réalisent le même événement. Pour tester la colinéarité de \((3;6)\) et \((1;2)\), on calcule \(3\times2-6\times1=0\).
- Pour un milieu \(I\), utiliser \(I\left(\cfrac{x_A+x_B}{2};\cfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
- Sur le cercle trigonométrique, connaître les valeurs usuelles en \(0\), \(\cfrac{\pi}{6}\), \(\cfrac{\pi}{4}\), \(\cfrac{\pi}{3}\), \(\cfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\).
- Pour une probabilité conditionnelle, vérifier que l’événement conditionnant a une probabilité non nulle.
Livret complet
Le PDF contient 49 exercices, les méthodes clés, les propriétés à retenir et des corrections modèles détaillées. Les QR codes mènent vers les pages de correction publiées sur le site.