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Correction - Exercice 49
Synthèse 4 · Niveau 3 - Approfondissement
Enonce
Soit :
\[
h(x)=\frac{x+1}{x^2-1}
\]
définie sur :
\[
\R\setminus\{-1,1\}.
\]
- Simplifier \(h(x)\) sur le domaine adéquat.
- Calculer \(h'(x)\).
- Étudier le signe de \(h'(x)\).
- Dresser le tableau de variations de \(h\).
Correction
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- Comme \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), on a, pour \(x\neq-1\) et \(x\neq1\) : \[ h(x)=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac1{x-1}. \] Attention : cette simplification ne change pas le domaine initial, donc \(-1\) reste exclu.
- Sur chaque intervalle du domaine, \(h'(x)=-\frac1{(x-1)^2}\).
- Comme \((x-1)^2>0\) pour \(x\neq1\), on a \(h'(x)<0\) sur tout le domaine.
- La fonction est décroissante sur \(]-\infty;-1[\), sur \(]-1;1[\) et sur \(]1;+\infty[\). On a une discontinuité en \(-1\) et une asymptote verticale en \(x=1\).
