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Correction - Exercice 47
Synthèse 2 · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Soit :
\[
g(x)=(2x-1)e^x.
\]
- Calculer \(g'(x)\).
- Résoudre \(g'(x)=0\).
- Étudier le signe de \(g'(x)\).
- Dresser le tableau de variations.
- Donner l'équation de la tangente à la courbe de \(g\) en \(x=0\).
Correction
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- \(g'(x)=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x\).
- \(g'(x)=0\Longleftrightarrow2x+1=0\), donc \(x=-\frac12\).
- Comme \(e^x>0\), \(g'(x)\) a le signe de \(2x+1\).
- \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;-\frac12]\), puis croissante sur \([-\frac12;+\infty[\).
- \(g(0)=-1\) et \(g'(0)=1\). La tangente en \(0\) est \(y=x-1\).
