Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(A(1;2;-1)\), \(B(4;-1;3)\), \(C(-2;3;0)\). 1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BC}\). 2. Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\), \(\|\overrightarrow{AC}\|\), \(\|\overrightarrow{BC}\|\). 3. Vérifier \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (Chasles). 4. Coordonnées du milieu \(M\) de \([BC]\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(2;-1;3)\), \(B(0;4;-1)\), \(C(-3;2;5)\). Mêmes questions.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}\) colinéaires ? 2. \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}\) colinéaires ? 3. Trouver \(k\) pour que \(\vec{u}\begin{pmatrix}k\\4\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}\) soient colinéaires. 4. \(A(1;0;2)\), \(B(3;-2;4)\), \(C(7;-6;8)\) alignés ?

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\2\\-6\end{pmatrix}\). Colinéaires ? Trouver \(k\) pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}k\\3\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\k\\2\end{pmatrix}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{w}\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}\). 1. Calculer \(2\vec{u}-3\vec{v}+\vec{w}\). 2. Calculer \(\|\vec{u}+\vec{v}\|\). 3. Existent-ils \(\alpha,\beta\) tels que \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}\) ? 4. Montrer que \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) forment une base de \(\mathbb{R}^3\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{w}\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\). Exprimer \(\vec{w}\) en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(A(2;1;3)\), \(B(-2;3;-1)\), \(C(4;-1;5)\). 1. Milieu \(I\) de \([AB]\). 2. Centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\). 3. Vérifier \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\). 4. Point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(0;0;0)\), \(B(4;0;0)\), \(C(0;6;0)\). Milieu de chaque côté et centre de gravité.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Distance \(AB\) avec \(A(1;-2;3)\), \(B(4;2;-1)\). 2. Équation des points à distance \(3\) de l’origine. 3. Montrer que \(A(0;0;0)\), \(B(2;0;0)\), \(C(1;\sqrt{3};0)\) forment un triangle équilatéral. 4. Point de l’axe \(Ox\) le plus proche de \(P(2;3;-1)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(1;2;3)\), \(B(4;-1;5)\). Calculer \(AB\). Trouver les points de l’axe \(Oz\) à distance \(5\) de \(A\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Représentation paramétrique de \(d_1\) passant par \(A(1;0;2)\) et \(B(3;-1;4)\). 2. Droite \(d_2\) passant par \(C(-2;1;0)\), direction \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\). 3. \(M(5;-2;6)\) appartient-il à \(d_1\) ? 4. \(N(0;-1;3)\) appartient-il à \(d_2\) ?

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : droite passant par \(P(3;0;-1)\) et \(Q(1;2;3)\). Le point \(R(5;-2;-5)\) appartient-il à cette droite ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(d_1 : \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\) et \(d_2 : \begin{cases}x=3+s\\y=s\\z=2+s\end{cases},\,s\in\mathbb{R}\). 1. Parallèles ? 2. Point d’intersection ? 3. Position relative. 4. Droite \(d_3\) parallèle à \(d_1\) passant par \(P(0;1;-1)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(d_1:\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases}\) et \(d_2:\begin{cases}x=1+s\\y=2-s\\z=s\end{cases}\). Se coupent-elles ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Droite passant par \(A(2;1;-1)\) et \(B(0;3;2)\). 2. Droite passant par \(C(1;0;0)\), direction \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). 3. Droite passant par \(D(0;0;1)\), perpendiculaire au plan \(2x-y+z=0\). 4. Montrer que \(E(1;2;3)\), \(F(3;1;2)\), \(G(5;0;1)\) sont alignés.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : droite passant par \(A(1;-1;2)\) et \(B(3;1;0)\). Montrer que \(C(5;3;-2)\) est sur cette droite.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(d : \begin{cases}x=2+3t\\y=-1+t\\z=1-2t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\). 1. Points pour \(t=0\), \(t=1\), \(t=-1\). 2. Paramètre \(t_0\) pour abscisse nulle. 3. Point d’ordonnée \(3\). 4. Distance entre les points pour \(t=0\) et \(t=2\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(d:\begin{cases}x=1+2t\\y=3-t\\z=t\end{cases}\). Point de cote \(z=4\). Distance entre les points \(t=0\) et \(t=3\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(d : \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=3-t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\). 1. \(d\) parallèle au plan \(x+y+z=0\) ? 2. Intersection de \(d\) avec \(\mathcal{P}_{} : x-y+2z=5\). 3. La droite \(d{}\) passant par \(A(1;1;1)\), direction \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}{}\) ? 4. Pied de la perpendiculaire de \(B(2;0;3)\) sur \(\mathcal{P}{}\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : droite \(\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2-t\end{cases}\) et plan \(x+y+z=6\). Intersection ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Plan passant par \(A(1;0;0)\), vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). 2. Vérifier que \(B(2;1;-\frac{1}{3})\) appartient à ce plan. 3. Plan passant par \(O\), normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). 4. Équation du plan \(xOy\) et du plan \(xOz\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : plan passant par \(M(2;-1;3)\), normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Vérifier que \(N(0;1;2)\) appartient à ce plan.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Plan passant par \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;3)\). 2. Plan passant par \(P(1;1;1)\), \(Q(2;0;1)\), \(R(1;2;3)\). 3. \(S(3;-1;2)\) appartient-il au plan \((PQR)\) ? 4. Plan passant par \(O\) contenant \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : plan passant par \(A(2;0;0)\), \(B(0;3;0)\), \(C(0;0;6)\). Vérifier que \(G\) le centre de gravité de \(ABC\) est dans ce plan.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\mathcal{P}_1 : 2x-y+3z=1\) et \(\mathcal{P}_2 : 4x-2y+6z=5\) parallèles ? 2. \(\mathcal{P}_3 : x+y-z=2\) et \(\mathcal{P}_4 : 2x-y+z=1\) parallèles ? 3. Si non, droite d’intersection. 4. Plan parallèle à \(\mathcal{P}_1\) passant par \(M(0;1;0)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\mathcal{P}_1:x+2y-z=4\) et \(\mathcal{P}_2:2x+4y-2z=5\). Parallèles ? Sinon intersection.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Résoudre et interpréter : \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=5\end{cases}\) 2. Interprétation géométrique. 3. Modifier pour système incompatible. 4. Que représente un système à infinité de solutions ?

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\begin{cases}x+y+z=3\\x-y+z=1\\2x+z=4\end{cases}\). Résoudre et interpréter.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(d : \begin{cases}x=1+t\\y=-t\\z=2+t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\) et \(\mathcal{P}:x-y+z=3\). 1. \(d\) est-elle dans \(\mathcal{P}\) ? 2. Point d’intersection. 3. Vecteur directeur d’une droite parallèle à \(\mathcal{P}\). 4. Droite passant par \(A(1;0;2)\), parallèle à \(\mathcal{P}\) et à \(d\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(d:\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=t\end{cases}\) et \(\mathcal{P}:x-y+z=2\). Intersection ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}\) orthogonaux ? (\(\vec{u}\cdot\vec{v}=4-10+6=0\) ✓) 2. Tous les \(\vec{w}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) orthogonaux à \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). 3. Parmi \(\vec{a}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{c}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\), lesquels sont orthogonaux ? 4. Trouver \(k\) tel que \(\vec{u}\begin{pmatrix}k\\3\\-2\end{pmatrix}\perp\vec{v}\begin{pmatrix}4\\k\\1\end{pmatrix}\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : trouver tous les vecteurs orthogonaux à la fois à \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(A(1;2;3)\), \(\mathcal{P}:2x-y+3z=0\). 1. Droite passant par \(A\), perpendiculaire à \(\mathcal{P}\). 2. Pied \(H\) de la perpendiculaire. 3. Distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\). 4. Image de \(A\) par symétrie par rapport à \(\mathcal{P}\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(B(0;1;-2)\) et \(\mathcal{P}:x+2y-2z+3=0\). Pied de la perpendiculaire et distance.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\mathcal{P}_1:x-2y+z=0\) et \(\mathcal{P}_2:2x+y=1\) perpendiculaires ? 2. Plan perpendiculaire à \(\mathcal{P}_1\) contenant l’axe \(Oz\). 3. Droite d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\). 4. Plan perpendiculaire à \(\mathcal{P}_1\) passant par \(M(1;0;1)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\mathcal{P}_1:x+y-z=0\) et \(\mathcal{P}_2:x-y+2z=0\). Perpendiculaires ? Angle entre eux.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Vecteurs orthogonaux à \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). 2. Droite passant par \(O\), perpendiculaire à \(d_1\) et \(d_2\). 3. Cette droite est-elle unique ? 4. Angle entre \(d_1\) et \(d_2\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : trouver la droite passant par \(A(1;0;0)\) perpendiculaire aux droites de directions \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(A(0;0;0)\), \(B(3;0;0)\), \(C(0;4;0)\), \(D(0;0;5)\). 1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\). 2. Équation du plan \((ABC)\). 3. Hauteur \(DH\) issue de \(D\). 4. Volume du tétraèdre.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : tétraèdre régulier de côté \(2\) avec \(A(0;0;0)\), \(B(2;0;0)\), \(C(1;\sqrt{3};0)\), \(D(1;\frac{\sqrt{3}}{3};2\sqrt{\frac{2}{3}})\). Calculer la hauteur.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\cdot\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\). 2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) avec \(A(1;0;2)\), \(B(3;-1;1)\), \(C(2;2;4)\). 3. \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2\) en utilisant \(\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\). 4. \((\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}+\vec{v}\|\), \(\|\vec{u}-\vec{v}\|\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Angle \((\vec{u},\vec{v})\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Angle \(\widehat{BAC}\) dans \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\). 3. Vérifier que les diagonales d’un cube forment un angle \(\arccos(1/3)\). 4. Vecteurs unitaires faisant \(60°\) avec \(\vec{k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : triangle \(A(2;0;0)\), \(B(0;3;0)\), \(C(0;0;6)\). Calculer les trois angles.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : L’angle \(\alpha\) vérifie \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\|\vec{n}\|}\). 1. Angle entre direction \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) et plan \(x+y=0\). 2. Angle entre axe \(Ox\) et plan \(x+y+z=1\). 3. Droite faisant \(30°\) avec \(z=0\) : que dire du vecteur directeur ? 4. Trouver une droite faisant \(45°\) avec le plan \(z=0\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : angle entre la droite \(\begin{cases}x=t\\y=2t\\z=t\end{cases}\) et le plan \(x+y-z=0\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Angle entre \(\mathcal{P}_1:x+y+z=0\) et \(\mathcal{P}_2:x-y+z=0\). 2. Angle entre \(\mathcal{P}_3:2x-y+2z=0\) et \(\mathcal{P}_4:x+2y-2z=0\). 3. Deux plans perpendiculaires contenant l’axe \(Oz\). 4. Plan formant \(45°\) avec le plan \(xOy\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : angle entre les plans \(x+y=1\) et \(y+z=1\). Ces plans sont-ils perpendiculaires ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Montrer que \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;-1)\), \(C(2;-2;0)\) forme un triangle rectangle. En quel sommet ? 2. Projeté orthogonal de \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\) sur \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 3. Identité du parallélogramme : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2+\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=2(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2)\). 4. En déduire une propriété des diagonales d’un losange.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(0;0;0)\), \(B(4;0;0)\), \(C(2;2;2)\). Triangle rectangle, isocèle ou équilatéral ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Distance de \(A(1;2;3)\) à \(\mathcal{P}:2x-y+2z-5=0\). 2. Distance de \(B(0;0;0)\) à \(\mathcal{P}_{}:x+y+z-3=0\). 3. Points de l’axe \(Oz\) équidistants des plans \(2x+y=1\) et \(x-2y=3\). 4. Distance entre les plans parallèles \(3x-4z=5\) et \(3x-4z=10\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : distance de \(M(1;-1;2)\) au plan \(x+2y-2z+3=0\). Vérifier avec la formule et par le pied de la perpendiculaire.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Formule : \(d(M,d)=\sqrt{\|\overrightarrow{AM}\|^2-\left(\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right)^2}\). 1. Distance de \(M(2;3;1)\) à la droite passant par \(O\), direction \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 2. Distance de \(M(1;-1;2)\) à \(d:\begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases}\). 3. Vérifier en trouvant le pied. 4. Distance de \(P(1;0;0)\) à la droite \((AB)\) avec \(A(0;1;0)\), \(B(0;0;1)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : distance de \(Q(3;0;0)\) à la droite \(\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=1-t\end{cases}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(d_1:\begin{cases}x=t\\y=0\\z=0\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\) et \(d_2:\begin{cases}x=0\\y=s\\z=1\end{cases},\,s\in\mathbb{R}\). 1. Montrer que \(d_1\) et \(d_2\) sont gauches. 2. Trouver un plan \(\mathcal{P}\) contenant \(d_1\) et parallèle à \(d_2\). 3. Vérifier que tous les points de \(d_2\) sont à la même distance de \(\mathcal{P}\). 4. Calculer cette distance.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(d_1:\begin{cases}x=1+t\\y=0\\z=0\end{cases}\) et \(d_2:\begin{cases}x=0\\y=s\\z=2\end{cases}\). Même méthode avec un plan auxiliaire.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Ensemble des points équidistants de \(A(1;0;0)\) et \(B(-1;0;0)\). 2. Sphère de centre \(\Omega(1;2;-1)\) et rayon \(3\). 3. Le plan \(x+y+z=0\) coupe-t-il cette sphère ? 4. Rayon du cercle d’intersection.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : sphère passant par \(O(0;0;0)\), \(A(2;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;2)\). Trouver le centre et le rayon.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0;0;0)\), \(B(2;0;0)\), \(C(0;3;0)\). 2. Trouver une équation du plan \((ABC)\). 3. Calculer la distance de \(D(0;0;4)\) au plan \((ABC)\). 4. En déduire le volume du tétraèdre \(ABCD\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(0;0;0)\), \(B(3;0;0)\), \(C(0;4;0)\), \(D(0;0;5)\). Volume et aire de la base.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) \(A(2;1;3)\), \(B(0;-1;1)\), \(C(4;1;-1)\), \(D(1;2;0)\). A : Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\). Trouver \(\vec{n}\) normal au plan \((ABC)\). Équation du plan. B : Distance de \(D\) au plan. \(D\) appartient-il au plan ? C : Droite \(d\) passant par \(D\), perpendiculaire au plan. Pied \(H\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;0)\), \(C(0;2;1)\), \(D(2;1;1)\). Même étude complète.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (7 pts) \(\mathcal{P}_1:x+2y-z=3\) et \(\mathcal{P}_2:2x-y+3z=1\). A : Montrer qu’ils ne sont pas parallèles. Trouver un point commun. B : Montrer que \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\-5\\-5\end{pmatrix}\) est parallèle aux deux plans. Représentation paramétrique de \(d=\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\). C : Angle dièdre. Plan passant par \(O\) perpendiculaire à \(d\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\mathcal{P}_1:x-y+2z=4\) et \(\mathcal{P}_2:2x+y-z=2\). Droite d’intersection et angle.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (8 pts) \(O(0;0;0)\), \(A(4;0;0)\), \(B(0;4;0)\), \(C(0;0;4)\). A : Longueurs des arêtes. Milieu \(I\) de \([BC]\). Montrer \(OA\perp BC\). B : Équation du plan \((ABC)\). Distance de \(O\) au plan. Volume. C : Projeté orthogonal \(H\) de \(O\) sur \((ABC)\). Vérifier que \(H\) est le centre de gravité de \(ABC\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : tétraèdre \(OABC\) avec \(A(6;0;0)\), \(B(0;6;0)\), \(C(0;0;6)\). Mêmes questions.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) Cube \(ABCDEFGH\) de côté \(1\), \(A(0;0;0)\), \(G(1;1;1)\), \(B(1;0;0)\), \(H(0;1;1)\). 1. Longueur des diagonales principales. 2. Angle \((\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BH})\). 3. Plan médiateur de \([AG]\). 4. Montrer que les droites \((AG)\) et \((BH)\) ne sont pas sécantes. 5. Plan des diagonales de la face \(ABCD\). 6. Angle entre \(AG\) et la face \(ABCD\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : cube de côté \(2\). Recalculer les longueurs et les angles.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (7 pts) \(A(1;-1;2)\) et \(\mathcal{P}:2x+y-2z+1=0\). A : Distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\). Droite \(\Delta\) perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) passant par \(A\). B : Pied \(H\). Symétrique \(A_{}\) de \(A\) par rapport à \(\mathcal{P}\). Vérifier que \(\mathcal{P}\) est le plan médiateur de \([AA_{}]\). C : \(B(3;1;0)\). Distances \(AB\) et \(A’B\). Justifier.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(M(2;0;1)\) et \(\mathcal{P}:x-2y+2z-3=0\). Pied de la perpendiculaire et symétrique.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (5 pts) \(d_1:\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=1-t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\) et \(d_2:\begin{cases}x=2+s\\y=1-s\\z=3+2s\end{cases},\,s\in\mathbb{R}\). 1. Montrer que les droites ne sont pas parallèles. 2. Montrer qu’elles ne se coupent pas. 3. Sont-elles coplanaires ? Justifier. 4. Conclure sur leur position relative. 5. Trouver un plan contenant \(d_1\) et parallèle à \(d_2\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(d_1:\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2t\end{cases}\) et \(d_2:\begin{cases}x=1+s\\y=s\\z=1\end{cases}\). Même étude.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Plan médiateur de \([AB]\) avec \(A(1;0;2)\), \(B(3;2;-2)\). 2. Vérifier que le milieu de \([AB]\) appartient à ce plan. 3. Centre de la sphère passant par \(O\), \(A(2;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;2)\). 4. Rayon de cette sphère.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : plan médiateur de \([AB]\) avec \(A(1;1;0)\) et \(B(-1;1;4)\). Équation et vérification.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Valeurs de \(k\) pour que \(\mathcal{P}_1:kx+2y-z=3\) et \(\mathcal{P}_2:x+ky-2z=1\) soient parallèles. 2. Pour \(k=1\), droite d’intersection. 3. Pour \(k=0\), droite d’intersection. 4. Valeurs de \(k\) pour unique point commun aux trois plans.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : étudier selon \(k\) les plans \(\mathcal{P}_1:x+ky+z=1\) et \(\mathcal{P}_2:kx+y+z=k\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Sphère \(\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2=25\), droite \(d:\begin{cases}x=3+t\\y=t\\z=1+2t\end{cases},\,t\in\mathbb{R}\). 1. Distance du centre \(O\) à \(d\). 2. Nombre de points d’intersection. 3. Coordonnées de ces points. 4. Longueur de la corde.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : sphère \(x^2+y^2+z^2=9\) et droite \(\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=1\end{cases}\). Points d’intersection.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (10 pts) \(A(2;0;0)\), \(B(0;3;0)\), \(C(0;0;4)\), \(D(1;1;1)\). A : \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\). Vecteur normal. Équation du plan \((ABC)\). B : Distance de \(D\) à \((ABC)\). Pied \(H\). Volume. Aire de \(ABC\). C : Symétrique \(D_1\) de \(D\) par rapport à \((ABC)\). Distance \(DD_1\). Coplanarité.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(A(3;0;0)\), \(B(0;4;0)\), \(C(0;0;2)\), \(D(1;2;1)\). Même étude complète.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Formule : \(H=A+\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\vec{u}\). 1. Projeté de \(M(2;3;1)\) sur \(x=y=z\) (\(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(A=O\)). 2. Distance de \(M\) à cette droite. 3. Projeté de \(P(1;0;2)\) sur l’axe \(Oy\). 4. Vérifier \(\overrightarrow{PH}\perp\vec{u}\) dans chaque cas.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : projeté de \(Q(2;1;3)\) sur la droite \(\begin{cases}x=1+t\\y=1+t\\z=t\end{cases}\). Distance \(Q\) à la droite.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Résoudre et interpréter géométriquement : 1. \(\begin{cases}x+y+z=1\\x-y+z=3\\x+y-z=2\end{cases}\) 2. \(\begin{cases}2x+y+3z=0\\x-y+z=2\\3x+2y+z=1\end{cases}\) 3. \(\begin{cases}x+2y-z=3\\2x+4y-2z=6\\x-y+z=0\end{cases}\) 4. \(\begin{cases}x+y=1\\y+z=2\\x+z=3\end{cases}\)

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : \(\begin{cases}2x+y-z=4\\x-y+2z=1\\3x+2y+z=7\end{cases}\). Résoudre et interpréter.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Plans \(\mathcal{P}_\lambda:(\lambda x+y-z=2)\), \(\mathcal{P}_{}:x+\lambda y+z=3\), \(\mathcal{P}_{2}:x+y+\lambda z=4\). 1. Pour \(\lambda=1\), résoudre. 2. Pour \(\lambda=-2\), compatible ? 3. Valeurs de \(\lambda\) pour infinité de solutions. 4. Pour \(\lambda=0\), droite d’intersection.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : étudier selon \(k\) le système \(\begin{cases}x+y+kz=1\\kx+y+z=1\\x+ky+z=1\end{cases}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(d_1=(\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2)\) avec \(\mathcal{P}_1:x+y+z=1\), \(\mathcal{P}_2:x-y+2z=3\). 2. \(d_2=(\mathcal{P}_3\cap\mathcal{P}_4)\) avec \(\mathcal{P}_3:2x+y-z=0\), \(\mathcal{P}_4:x+3y+z=2\). 3. \(d_1\) et \(d_2\) se croisent, se coupent ou parallèles ? 4. Plan contenant \(d_1\) parallèle à \(d_2\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : trouver la droite d’intersection de \(x+y=2\) et \(y+z=3\). Représentation paramétrique.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : On considère la droite \(d\) définie par \(\mathcal{P}_1:x+y=1\) et \(\mathcal{P}_2:y+z=2\). 1. Donner une représentation paramétrique de \(d\). 2. Vérifier que \(A(1;0;2)\) appartient à \(d\). 3. Le plan \(\mathcal{Q}:x+2y+z=3\) contient-il \(d\) ? 4. Trouver un plan contenant \(d\) et le point \(O(0;0;0)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : trouver un plan contenant \(d:\begin{cases}x=t\\y=1\\z=t\end{cases}\) et le point \(A(0;1;2)\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Plan passant par \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), perpendiculaire à \(z=0\). 2. Plan contenant \(d:\begin{cases}x=t\\y=t\\z=0\end{cases}\), perpendiculaire à \(x+y=0\). 3. Plan équidistant de \(\mathcal{P}_1:x=0\) et \(\mathcal{P}_2:x=4\). 4. Plan parallèle à \(z=1\) passant par \(A(2;-1;3)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : plan passant par l’axe \(Oz\) et perpendiculaire au plan \(x-y=0\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) Droites \(d_1:\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=1-t\end{cases}\), \(d_2:\begin{cases}x=1+s\\y=2\\z=s\end{cases}\), \(d_3:\begin{cases}x=r\\y=r\\z=2r\end{cases}\). 1. \(d_1\) et \(d_2\) se coupent-elles ? 2. \(d_1\) et \(d_3\) coplanaires ? 3. Trouver un plan contenant \(d_1\) et \(d_3\). 4. Étudier la position de \(d_2\) par rapport à ce plan. 5. Interpréter géométriquement la situation.

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : même problème avec \(d_1:\begin{cases}x=t\\y=t\\z=0\end{cases}\), \(d_2:\begin{cases}x=0\\y=1+s\\z=s\end{cases}\), \(d_3:\begin{cases}x=r\\y=0\\z=r\end{cases}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (8 pts) Pyramide \(SABCD\) base carrée \(A(0;0;0)\), \(B(4;0;0)\), \(C(4;4;0)\), \(D(0;4;0)\), \(S(2;2;6)\). A : Centre \(G\) de la base. Montrer \(\overrightarrow{SG}\perp\overrightarrow{AB}\). B : Équation du plan \((SAB)\). Distance de \(D\) à \((SAB)\). Hauteur et volume. C : Équation du plan \((SCD)\). \([AC]\) rencontre-t-il \((SCD)\) ? Angle entre \((SAB)\) et \((SCD)\).

1. Repérer les données utiles de l’énoncé.
2. Choisir la formule ou la méthode du chapitre.
3. Effectuer les calculs puis rédiger une conclusion claire.

Pour la variante : Variante : pyramide \(SABCD\) avec \(S(3;3;8)\) et même base. Recalculer toutes les quantités.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.