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Correction - Exercice 35
Premiers raisonnements par récurrence · Niveau 3 - Approfondissement
Enonce
Soit la suite définie par :
\[
u_0=1,\qquad u_{n+1}=2u_n+1.
\]
Montrer par récurrence que :
\[
u_n=2^{n+1}-1
\]
pour tout entier naturel \(n\).
Correction
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Initialisation. Pour \(n=0\), \(u_0=1\) et \(2^{0+1}-1=2-1=1\). La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité. Supposons que \(u_n=2^{n+1}-1\). Alors :
\[ u_{n+1}=2u_n+1=2(2^{n+1}-1)+1=2^{n+2}-1. \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n=2^{n+1}-1\).