Primitives et équations différentielles
Primitives usuelles et composées. Équations différentielles y'=ay, y'=ay+b.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme \((v' \circ u) \times u'\).
- Pour une équation différentielle \(y' = ay + b\) (\(a \neq 0\)) : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer toutes les solutions.
- Pour une équation différentielle \(y' = ay + f\) : à partir de la donnée d'une solution particulière, déterminer toutes les solutions.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
- Résolution de l'équation différentielle \(y' = ay\) où \(a\) est un nombre réel.
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Résolution par la méthode d'Euler de \(y' = f\), de \(y' = ay + b\).
1. Introduction
Jusqu'ici, étant donné une fonction \(F\), on calculait sa dérivée \(F'\). Ce chapitre pose la question inverse : connaissant \(f\), peut-on trouver une fonction \(F\) telle que \(F' = f\) ? Une telle fonction s'appelle une primitive de \(f\).
Les équations différentielles généralisent cette idée : on cherche une fonction inconnue \(y\) satisfaisant une relation entre \(y\) et sa dérivée \(y'\). Ces équations modélisent des phénomènes fondamentaux : croissance démographique, désintégration radioactive, décharge électrique d'un condensateur, etc.
2. Cours
Définitions préliminaires
- Toute fonction continue sur \(I\) admet une primitive sur \(I\).
- Deux primitives de \(f\) sur \(I\) diffèrent d'une constante.
- Pour tout \(x_0 \in I\) et \(y_0 \in \mathbb{R}\), il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0) = y_0\) (condition initiale).
- Linéarité : \(F + G\) est primitive de \(f + g\) ; \(\lambda F\) est primitive de \(\lambda f\).
Tableau des primitives des fonctions usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Intervalle | Primitive \(F(x)\) |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(\mathbb{R}\) | \(ax + c\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) | \(\mathbb{R}\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq -1\)) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) | \(2\sqrt{x} + c\) |
| \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(e^x + c\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) | \(\ln(x) + c\) |
A — Primitives de fonctions composées
| Forme \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(u' \cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u \neq 0\) |
| \(u' e^u\) | \(e^u\) | — |
B — Équation différentielle \(y' = ay\)
Les solutions sont exactement les fonctions de la forme : \[ f_k(x) = k e^{ax}, \quad k \in \mathbb{R} \] L'ensemble des solutions est donc une famille à un paramètre réel \(k\).
- Ces fonctions sont solutions : \(f_k'(x) = k a e^{ax} = a \cdot f_k(x)\) ✓.
- Ce sont les seules : soit \(y\) une solution. On pose \(g(x) = y(x) e^{-ax}\). Alors \(g'(x) = y'(x)e^{-ax} - ay(x)e^{-ax} = (y'-ay)e^{-ax} = 0\). Donc \(g\) est constante : \(g(x) = k\), soit \(y(x) = k e^{ax}\).
C — Équation différentielle \(y' = ay + b\)
Les solutions sont : \[ f_k(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad k \in \mathbb{R} \]
- Chercher une solution constante \(y_p\) : si \(y_p' = 0\), alors \(0 = ay_p + b\), donc \(y_p = -\dfrac{b}{a}\).
- Poser \(h = y - y_p\). Alors \(h' = y' - y_p' = ay + b - 0 = a(h+y_p)+b = ah\). Donc \(h\) est solution de \(h' = ah\), soit \(h(x) = ke^{ax}\).
- Conclure : \(y(x) = ke^{ax} + y_p = ke^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
D — Équation différentielle \(y' = ay + f(x)\)
Si \(g\) est une solution particulière de \((E) : y' = ay + f(x)\), alors toutes les solutions de \((E)\) sont : \[ y(x) = ke^{ax} + g(x), \quad k \in \mathbb{R} \] (solution générale de l'équation homogène + solution particulière).
3. Exemples guidés
Calculer une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 2x + e^x + \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Par linéarité, on calcule terme à terme : \[ F(x) = x^3 - x^2 + e^x + \ln(x) + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Vérification : \(F'(x) = 3x^2 - 2x + e^x + \dfrac{1}{x} = f(x)\) ✓.
Calculer une primitive de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\).
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2+1\) et \(u' = 2x\) :
\[ F(x) = \ln(x^2+1) + c \]Vérification : \(F'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\) ✓ (et \(x^2+1 > 0\) donc pas de valeur absolue).
Solution générale : \(y = ke^{-3x}\), \(k \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0) = 2\) : \[ k e^0 = 2 \Rightarrow k = 2 \]
Solution particulière : \(\boxed{y = 2e^{-3x}}\).
Interprétation : décroissance exponentielle — la quantité est divisée par \(e^3 \approx 20\) à chaque unité de temps.
Solution constante : \(y_p = -\dfrac{-4}{2} = 2\).
Solution générale : \(y = ke^{2x} + 2\), \(k \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0) = 5\) : \[ k + 2 = 5 \Rightarrow k = 3 \]
Solution : \(\boxed{y = 3e^{2x} + 2}\).
Modèle : \(P'(t) = 0{,}05\,P(t)\), \(P(0) = 1000\) (population initiale).
Solution : \(P(t) = 1000\,e^{0{,}05t}\).
Population après 20 ans : \[ P(20) = 1000\,e^{0{,}05 \times 20} = 1000\,e^{1} \approx 1000 \times 2{,}718 = 2\,718 \] La population est presque multipliée par \(e \approx 2{,}72\) en 20 ans.
4. Exercices progressifs
Calculer une primitive de \(f(x) = 4x^3 - 2x + e^x - \dfrac{3}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Par linéarité, terme à terme :
- Primitive de \(4x^3\) : \(x^4\).
- Primitive de \(-2x\) : \(-x^2\).
- Primitive de \(e^x\) : \(e^x\).
- Primitive de \(-\dfrac{3}{x}\) : \(-3\ln(x)\) (sur \(]0;+\infty[\)).
Vérification : \(F'(x) = 4x^3 - 2x + e^x - \dfrac{3}{x} = f(x)\) ✓.
Résoudre \(y' = 5y\) avec la condition initiale \(y(0) = -2\).
Solution générale : \(y = ke^{5x}\), \(k \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0) = k \cdot e^0 = k = -2\).
Solution : \(\boxed{y = -2e^{5x}}\).
Vérification : \(y' = -10e^{5x} = 5 \times (-2e^{5x}) = 5y\) ✓.
Calculer une primitive de :
- \(\dfrac{3x^2}{x^3+1}\)
- \(\dfrac{e^x}{e^x+2}\)
1. On pose \(u = x^3 + 1\), \(u' = 3x^2\). La fraction est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\). \[ F(x) = \ln|x^3+1| + c = \ln(x^3+1) + c \] (on peut enlever la valeur absolue si \(x^3+1 > 0\), i.e. \(x > -1\).)
2. On pose \(u = e^x+2\), \(u' = e^x\). Forme \(\dfrac{u'}{u}\). \[ F(x) = \ln(e^x+2) + c \] (et \(e^x + 2 > 0\) toujours, donc pas de valeur absolue).
Résoudre l'équation différentielle \(y' = 3y - 6\) avec la condition initiale \(y(0) = 4\).
Solution constante : \(y_p = \dfrac{6}{3} = 2\) (vérifions : \(y_p' = 0\) et \(3 \times 2 - 6 = 0\) ✓).
Solution générale : \(y = ke^{3x} + 2\), \(k \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0) = k + 2 = 4 \Rightarrow k = 2\).
Solution : \(\boxed{y = 2e^{3x} + 2}\).
Vérification : \(y' = 6e^{3x}\) et \(3y - 6 = 3(2e^{3x}+2)-6 = 6e^{3x}\) ✓.
Résoudre \(y' = -2y + e^x\).
Indication : chercher une solution particulière de la forme \(y_p = ae^x\).
Solution particulière : on essaie \(y_p = ae^x\). Alors \(y_p' = ae^x\). En substituant dans l'équation : \[ ae^x = -2ae^x + e^x \Rightarrow ae^x + 2ae^x = e^x \Rightarrow 3ae^x = e^x \Rightarrow a = \frac{1}{3} \] Donc \(y_p = \dfrac{1}{3}e^x\).
Solution de l'équation homogène \(y' = -2y\) : \(y_h = ke^{-2x}\), \(k \in \mathbb{R}\).
Solution générale : \[ \boxed{y = ke^{-2x} + \frac{1}{3}e^x}, \quad k \in \mathbb{R} \]
Vérification : \[ y' = -2ke^{-2x} + \frac{1}{3}e^x \] \[ -2y + e^x = -2ke^{-2x} - \frac{2}{3}e^x + e^x = -2ke^{-2x} + \frac{1}{3}e^x = y' \; ✓ \]
Le nombre d'atomes \(N(t)\) d'un corps radioactif suit l'équation différentielle : \[ N'(t) = -\lambda N(t), \quad N(0) = N_0 \] où \(\lambda > 0\) est la constante de désintégration.
- Résoudre cette équation différentielle.
- La demi-vie \(T_{1/2}\) est le temps au bout duquel la moitié des atomes a disparu : \(N(T_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}\). Exprimer \(\lambda\) en fonction de \(T_{1/2}\).
- Pour le carbone 14, \(T_{1/2} = 5730\) ans. Quelle fraction des atomes reste après 1000 ans ?
1. \(N' = -\lambda N\) est de la forme \(y' = ay\) avec \(a = -\lambda\). Solution générale : \(N(t) = ke^{-\lambda t}\). Condition initiale : \(N(0) = k = N_0\). \[ \boxed{N(t) = N_0 e^{-\lambda t}} \]
2. \[ N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \Rightarrow N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \Rightarrow e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2} \] En prenant le logarithme : \[ -\lambda T_{1/2} = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \Rightarrow \boxed{\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}} \]
3. Avec \(T_{1/2} = 5730\) ans : \[ \lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx \frac{0{,}6931}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1} \] Fraction restante après 1000 ans : \[ \frac{N(1000)}{N_0} = e^{-\lambda \times 1000} = e^{-\frac{1000\ln 2}{5730}} = 2^{-\frac{1000}{5730}} = 2^{-0{,}1745} \approx 0{,}886 \] Il reste environ 88,6 % des atomes après 1000 ans.
📌 Fiche de synthèse
Primitives usuelles (à connaître par cœur)
- \(x^n \longrightarrow \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (\(n \neq -1\))
- \(e^x \longrightarrow e^x\)
- \(\dfrac{1}{x} \longrightarrow \ln|x|\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} \longrightarrow 2\sqrt{x}\)
Formes composées à reconnaître
- \(u' e^u \longrightarrow e^u\)
- \(\dfrac{u'}{u} \longrightarrow \ln|u|\)
- \(u' u^n \longrightarrow \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)
- \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \longrightarrow 2\sqrt{u}\)
Équations différentielles du 1er ordre
- \(y' = ay\) → solutions : \(ke^{ax}\)
- \(y' = ay + b\) → solutions : \(ke^{ax} - \dfrac{b}{a}\)
- \(y' = ay + f(x)\) → sol. générale = sol. homogène + sol. particulière
Méthode avec condition initiale
- Écrire la solution générale avec la constante \(k\).
- Substituer \(x = x_0\) et \(y = y_0\) pour déterminer \(k\).
- Écrire la solution unique.
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante
Deux primitives d'une même fonction continue \(f\) sur un intervalle \(I\) diffèrent d'une constante.
Soient \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\) sur \(I\). Posons \(h = F - G\).
Pour tout \(x \in I\) :
\[h'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0\]D'après le théorème sur les fonctions de dérivée nulle : toute fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante.
Donc il existe \(C \in \mathbb{R}\) tel que \(h(x) = C\) pour tout \(x \in I\), c'est-à-dire \(F(x) = G(x) + C\). \(\square\)
Résolution de l'équation différentielle \(y' = ay\)
Les solutions de \(y' = ay\) (\(a \in \mathbb{R}\)) sur \(\mathbb{R}\) sont exactement les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Analyse : Soit \(f\) une solution de \(y' = ay\). Posons \(g(x) = f(x)\,e^{-ax}\).
On calcule :
\[g'(x) = f'(x)\,e^{-ax} - a\,f(x)\,e^{-ax} = e^{-ax}\underbrace{\bigl(f'(x) - a\,f(x)\bigr)}_{=\,0} = 0\]Donc \(g\) est constante : \(g(x) = C\), d'où \(f(x) = C\,e^{ax}\).
Synthèse : Réciproquement, posons \(f(x) = Ce^{ax}\). Alors \(f'(x) = Ca\,e^{ax} = a \cdot f(x)\) : \(f\) est bien solution. \(\square\)
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Méthode d'Euler pour les équations différentielles
La méthode d'Euler résout numériquement \(y' = f(x,y)\), \(y(x_0) = y_0\) en construisant une suite de points par approximation affine.
def euler(f, x0, y0, xn, h=0.01):
"""
Résout y' = f(x, y), y(x0) = y0 sur [x0, xn] par la méthode d'Euler.
h : pas de discrétisation
Retourne (liste des x, liste des y approchés).
"""
xs, ys = [x0], [y0]
x, y = x0, y0
while x < xn - h / 2:
y = y + h * f(x, y)
x = x + h
xs.append(round(x, 10))
ys.append(y)
return xs, ys
import math
# Exemple 1 : y' = y, y(0) = 1 → solution exacte y = e^x
xs, ys = euler(lambda x, y: y, 0, 1, 2, h=0.001)
print(f"y(2) ≈ {ys[-1]:.6f} (e² = {math.e**2:.6f})")
# Exemple 2 : y' = -2y + 3, y(0) = 0 → solution y = 1.5*(1 - e^(-2x))
xs2, ys2 = euler(lambda x, y: -2*y + 3, 0, 0, 3, h=0.001)
exact = 1.5 * (1 - math.exp(-6))
print(f"y(3) ≈ {ys2[-1]:.6f} (exact ≈ {exact:.6f})")
# Exemple 3 : équation logistique y' = y*(1 - y), y(0) = 0.1
xs3, ys3 = euler(lambda x, y: y*(1-y), 0, 0.1, 10, h=0.01)
print(f"y(10) ≈ {ys3[-1]:.6f} (attend 1.0)")