Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=(3x^2-1)^5\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=\sqrt{2x+7}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Pour \(f(x)=x^3-2x+1\), déterminer l’équation de la tangente en \(x=1\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=x^2+3x\) en \(x=-1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Étudier la convexité de \(f(x)=x^3-3x^2+2\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=x^4-2x^2\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Déterminer si la courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+4\) admet un point d’inflexion.

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=x^3+3x^2-x\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Si \(f''(x)=6x-12\), déterminer sur quels intervalles \(f\) est convexe ou concave.

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : \(f''(x)=2x+4\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Pour \(f(x)=x^2-4x+1\), déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a=3\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : pour \(g(x)=2x^2+x-1\), déterminer la tangente au point d’abscisse \(a=-1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=\sqrt{3x^2-2x+5}\) sur son domaine de dérivabilité.

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=\sqrt{5x+1}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=\frac{2x+1}{x^2+3}\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=\frac{x^2-1}{3x+2}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=\ln(x^2+4x+5)\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=\ln(3x-1)\) sur son domaine.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=e^{2x^2-3x}\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=e^{-x+4}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Dériver \(f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x^2+1}\right)\).

1. Déterminer d’abord le domaine, puis choisir la règle : somme, produit, quotient ou fonction usuelle.
2. Pour une tangente, calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
3. Pour la convexité, étudier le signe de \(f''\), puis conclure convexe ou concave par intervalles.

Pour la variante : Variante : dériver \(g(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.