Calcul intégral
Intégrale et primitive, IPP, aire entre deux courbes, valeur moyenne.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
- Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive, à l'aide d'une intégration par parties.
- Majorer (minorer) une intégrale à partir d'une majoration (minoration) d'une fonction par une autre fonction.
- Calculer l'aire entre deux courbes.
- Étudier une suite d'intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence.
- Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d'une autre discipline.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Pour une fonction \(f\) positive croissante sur \([a\,;\,b]\), la fonction \(x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est une primitive de \(f\) ; pour toute primitive \(F\) de \(f\), relation \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\).
- Intégration par parties.
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes.
- Méthode de Monte-Carlo.
- Algorithme de Brouncker pour le calcul de \(\ln 2\).
1. Introduction
Le calcul intégral est l'une des grandes constructions des mathématiques modernes. À l'origine, il permettait de calculer des aires et des volumes. Aujourd'hui, il est au cœur de la physique (travail d'une force, charge électrique), de la probabilité (lois continues), de l'économie (surplus du consommateur) et de bien d'autres domaines.
En Terminale, on formalise la notion d'intégrale définie, on établit le lien fondamental avec les primitives (théorème fondamental de l'analyse), et on apprend la technique de l'intégration par parties (IPP), indispensable pour intégrer des produits de fonctions.
2. Cours
A. Intégrale et primitive
A.1 Intégrale d'une fonction de signe constant
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a;b]\). On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) l'aire (en unités d'aire) de la surface \(\mathcal{D}\) délimitée par :
- la courbe représentative de \(f\),
- l'axe des abscisses,
- les droites d'équations \(x = a\) et \(x = b\).
On note cette aire :
\[ \text{aire}(\mathcal{D}) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \]Si \(f\) est continue et négative sur \([a;b]\), l'aire de la surface délimitée par la courbe et l'axe des abscisses vaut :
\[ \text{aire}(\mathcal{D}) = \int_a^b -f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \]L'intégrale est alors négative, mais l'aire est toujours positive (on prend la valeur absolue).
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). La fonction \(F_a\) définie par :
\[ F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \]est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) (c'est-à-dire \(F_a(a) = 0\) et \(F_a'(x) = f(x)\)).
Si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \([a;b]\), alors :
\[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a) = \bigl[F(x)\bigr]_a^b \]Cette formule est le pont entre la notion géométrique d'aire et le calcul algébrique de primitives. Elle est fondamentale.
A.2 Intégrale d'une fonction de signe quelconque
Pour \(f\) continue sur \([a;b]\) et \(F\) une primitive quelconque de \(f\) :
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a) \]Cette formule est valable quelle que soit le signe de \(f\). L'intégrale peut être négative.
- Intégrale nulle : \(\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0\)
- Inversion des bornes : \(\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
- Relation de Chasles : \[\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x\] (valable pour tout réel \(b\), même en dehors de \([a;c]\))
- Linéarité : \[\int_a^b \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\] \[\int_a^b \lambda f(x)\,\mathrm{d}x = \lambda \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
A.3 Signe de l'intégrale
- Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0\).
- Si \(f(x) \leq 0\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq 0\).
- Si \(f(x) \geq g(x)\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\).
A.4 Intégration par parties (IPP)
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a;b]\) dont les dérivées \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([a;b]\), alors :
\[ \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x \]Cette formule provient de la règle de dérivation du produit : \((uv)' = u'v + uv'\), qu'on intègre des deux côtés.
Le choix de \(u\) et \(v'\) est crucial. En général :
- \(u\) doit être une fonction dont la dérivée est plus simple : polynôme, \(\ln\), etc.
- \(v'\) doit être une fonction facile à intégrer : \(e^x\), \(\cos\), \(\sin\), etc.
- Mnémotechnique : LIATE — Logarithme, Inverse, Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle. Le premier dans cette liste est en général \(u\).
B. Applications du calcul intégral
B.1 Aire entre deux courbes
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([a;b]\) avec \(f(x) \leq g(x)\) pour tout \(x \in [a;b]\). L'aire de la surface comprise entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) vaut :
\[ \mathcal{A} = \int_a^b \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,\mathrm{d}x \]On intègre toujours la fonction du dessus moins la fonction du dessous. La quantité intégrée est toujours positive, donc l'aire est positive.
B.2 Valeur moyenne d'une fonction
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\) (avec \(a < b\)). La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est le réel :
\[ \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \]Interprétation : \(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a;b]\) dont l'aire est égale à celle du domaine sous la courbe de \(f\). Autrement dit : \(\mu \times (b-a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
3. Exemples guidés
Calculer \(\displaystyle\int_1^3(2x^2-3x+1)\,\mathrm{d}x\).
Étape 1 : Trouver une primitive de \(2x^2 - 3x + 1\). On intègre terme à terme :
\[ F(x) = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x \]Étape 2 : Appliquer la formule \([F(x)]_1^3 = F(3) - F(1)\).
\[ F(3) = \frac{2 \times 27}{3} - \frac{3 \times 9}{2} + 3 = 18 - \frac{27}{2} + 3 = 21 - \frac{27}{2} = \frac{42-27}{2} = \frac{15}{2} \] \[ F(1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{1}{6} \] \[ \int_1^3(2x^2-3x+1)\,\mathrm{d}x = \frac{15}{2} - \frac{1}{6} = \frac{45}{6} - \frac{1}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3} \]Choix : On pose \(u(x) = x\) (polynôme, se simplifie en dérivant) et \(v'(x) = e^x\) (facile à intégrer).
Alors \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = e^x\).
Application de l'IPP :
\[ \int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = \bigl[x\,e^x\bigr]_0^1 - \int_0^1 1\cdot e^x\,\mathrm{d}x \] \[ = \bigl[x\,e^x\bigr]_0^1 - \bigl[e^x\bigr]_0^1 = (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1 \]Calculer l'aire entre \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0;1]\).
Étape 1 : Vérifier qui est au-dessus. Sur \([0;1]\) : \(g(x) - f(x) = x - x^2 = x(1-x) \geq 0\) (car \(0 \leq x \leq 1\)). Donc \(g(x) \geq f(x)\) : la droite \(y=x\) est au-dessus de la parabole \(y=x^2\).
Étape 2 : Calculer l'intégrale :
\[ \mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \]Conclusion : L'aire est \(\dfrac{1}{6}\) u.a.
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = \cos(x)\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
La valeur moyenne de cosinus sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) est \(\dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}637\).
Première IPP : \(u = x^2\), \(v' = e^x\), donc \(u' = 2x\), \(v = e^x\).
\[ \int_0^1 x^2 e^x\,\mathrm{d}x = \bigl[x^2 e^x\bigr]_0^1 - \int_0^1 2x\,e^x\,\mathrm{d}x = e - 2\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x \]Deuxième IPP (on utilise le résultat de l'exemple 2) : \(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = 1\).
\[ \int_0^1 x^2 e^x\,\mathrm{d}x = e - 2 \times 1 = e - 2 \]4. Exercices progressifs
Calculer \(\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x-1)\,\mathrm{d}x\).
Une primitive de \(3x^2+2x-1\) est \(F(x) = x^3 + x^2 - x\). Donc :
\[ \int_0^2(3x^2+2x-1)\,\mathrm{d}x = \bigl[x^3+x^2-x\bigr]_0^2 \] \[ = (8 + 4 - 2) - (0 + 0 - 0) = 10 \]Calculer :
- \(\displaystyle\int_1^e\frac{2}{x}\,\mathrm{d}x\)
- \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x\)
a) Une primitive de \(\dfrac{2}{x}\) est \(2\ln|x|\). Donc :
\[ \int_1^e\frac{2}{x}\,\mathrm{d}x = \bigl[2\ln(x)\bigr]_1^e = 2\ln(e) - 2\ln(1) = 2 \times 1 - 2 \times 0 = 2 \]b) Une primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\). Donc :
\[ \int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[-\cos(x)\bigr]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 \]Interprétation : Comme \(\sin(x) \geq 0\) sur \([0;\pi]\), l'aire sous la courbe de sinus vaut 2 u.a.
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x\) par intégration par parties.
Choix : \(u(x) = x\) et \(v'(x) = e^{-x}\), donc \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = -e^{-x}\).
\[ \int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x = \bigl[x \times (-e^{-x})\bigr]_0^1 - \int_0^1 1 \times (-e^{-x})\,\mathrm{d}x \] \[ = \bigl[-x\,e^{-x}\bigr]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x \] \[ = \bigl(-1\cdot e^{-1} - 0\bigr) + \bigl[-e^{-x}\bigr]_0^1 \] \[ = -e^{-1} + (-e^{-1} + e^0) = -e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - \frac{2}{e} \]Calculer l'aire de la surface délimitée par \(f(x) = x^2 - 4\) et l'axe des abscisses sur \([-2;2]\).
Signe de \(f\) : Sur \([-2;2]\), \(x^2 \leq 4\) donc \(f(x) = x^2 - 4 \leq 0\). La courbe est entièrement sous l'axe des abscisses.
Aire : Puisque \(f(x) \leq 0\), l'aire vaut \(-\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\).
\[ \int_{-2}^{2}(x^2-4)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} \] \[ = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(\frac{-8}{3} + 8\right) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 = \frac{16}{3} - 16 = \frac{16 - 48}{3} = -\frac{32}{3} \]L'intégrale vaut \(-\dfrac{32}{3}\), donc l'aire vaut \(\dfrac{32}{3}\) u.a.
Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,\mathrm{d}x\) en utilisant l'intégration par parties.
Astuce : On écrit \(\ln(x) = \ln(x) \times 1\) et on choisit :
- \(u(x) = \ln(x)\) donc \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\)
- \(v'(x) = 1\) donc \(v(x) = x\)
Application de l'IPP :
\[ \int_1^e \ln(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[x\ln(x)\bigr]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \] \[ = \bigl[x\ln(x)\bigr]_1^e - \int_1^e 1\,\mathrm{d}x \] \[ = (e\ln(e) - 1\cdot\ln(1)) - \bigl[x\bigr]_1^e \] \[ = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \]Conclusion : \(\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,\mathrm{d}x = 1\).
Soit \(f(x) = e^x\) et \(g(x) = x + 1\). Calculer l'aire de la surface délimitée par \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sur \([-1;2]\).
Étape 1 — Intersections : On résout \(e^x = x+1\).
On remarque que \(x = 0\) est une solution : \(e^0 = 1 = 0+1\). ✓
On peut montrer que c'est la seule solution (car \(h(x) = e^x - x - 1\) vérifie \(h'(x) = e^x - 1 = 0\) en \(x=0\), et \(h''(x) = e^x > 0\) donc \(h\) est convexe avec un minimum en \(x=0\), où \(h(0) = 0\)).
Étape 2 — Ordre des fonctions :
- Sur \([-1;0]\) : On teste en \(x=-1\) : \(f(-1) = e^{-1} \approx 0{,}37\) et \(g(-1) = 0\). Donc \(f(x) \geq g(x)\).
- Sur \([0;2]\) : On teste en \(x=1\) : \(f(1) = e \approx 2{,}72\) et \(g(1) = 2\). Donc \(f(x) \geq g(x)\).
En fait, \(e^x \geq x+1\) pour tout \(x\) (par convexité), donc \(f \geq g\) sur tout \([-1;2]\).
Étape 3 — Calcul de l'aire :
\[ \mathcal{A} = \int_{-1}^{2} (e^x - x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[e^x - \frac{x^2}{2} - x\right]_{-1}^{2} \] \[ = \left(e^2 - 2 - 2\right) - \left(e^{-1} - \frac{1}{2} + 1\right) \] \[ = e^2 - 4 - e^{-1} + \frac{1}{2} - 1 = e^2 - e^{-1} - \frac{9}{2} \]Conclusion : \(\mathcal{A} = e^2 - \dfrac{1}{e} - \dfrac{9}{2} \approx 7{,}39 - 0{,}37 - 4{,}5 = 2{,}52\) u.a.
📌 Fiche de synthèse
Formule fondamentale
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a;b]\) :
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a) \]Propriétés clés
- Chasles : \(\displaystyle\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c\)
- Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g\)
- Inversion : \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\)
Intégration par parties (IPP)
\[ \int_a^b u\,v' = \bigl[u\,v\bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v \]Applications
- Aire entre deux courbes (\(g \geq f\) sur \([a;b]\)) : \(\displaystyle\mathcal{A} = \int_a^b (g-f)\)
- Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Primitives à connaître
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) |
| \(u'(x)e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|\) |
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Existence d'une primitive — lien avec l'intégrale
Soit \(f\) une fonction continue positive et croissante sur \([a, b]\). Posons \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\). Alors \(F\) est une primitive de \(f\) : \(F' = f\). De plus, pour toute primitive \(G\) de \(f\) :
\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = G(b) - G(a)\]Soit \(x \in [a, b]\) et \(h > 0\) suffisamment petit. Comme \(f\) est croissante sur \([x, x+h]\) :
\[f(x) \cdot h \leq \int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t \leq f(x+h) \cdot h\]Or \(F(x+h) - F(x) = \displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t\), donc en divisant par \(h > 0\) :
\[f(x) \leq \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq f(x+h)\]Par continuité de \(f\) en \(x\), lorsque \(h \to 0^+\) : \(f(x+h) \to f(x)\). Par le théorème des gendarmes : \(F'(x) = f(x)\). Un raisonnement analogue vaut pour \(h < 0\).
Enfin, \(F\) et \(G\) étant deux primitives de \(f\), elles diffèrent d'une constante, donc \(G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). \(\square\)
Intégration par parties (IPP)
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a, b]\) à dérivées continues. Alors :
\[\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x\]On sait que \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\). En intégrant sur \([a, b]\) :
\[\int_a^b (u \cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x\]Or, par la formule fondamentale du calcul intégral : \(\displaystyle\int_a^b (uv)' = \bigl[uv\bigr]_a^b\). Donc :
\[\bigl[u\,v\bigr]_a^b = \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x + \int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x\]Ce qui donne bien la formule d'intégration par parties. \(\square\)
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Méthodes des rectangles, des milieux et des trapèzes
Trois méthodes d'approximation numérique de l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
import math
def rectangles_gauche(f, a, b, n=1000):
"""Méthode des rectangles à gauche."""
h = (b - a) / n
return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))
def rectangles_milieu(f, a, b, n=1000):
"""Méthode des points milieux (rectangles centrés) — plus précise."""
h = (b - a) / n
return h * sum(f(a + (i + 0.5) * h) for i in range(n))
def trapezes(f, a, b, n=1000):
"""Méthode des trapèzes."""
h = (b - a) / n
s = (f(a) + f(b)) / 2 + sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
return h * s
# Test : intégrale de sin sur [0, π] = 2
f = math.sin
print(f"Rectangles gauche : {rectangles_gauche(f, 0, math.pi):.6f}")
print(f"Points milieux : {rectangles_milieu(f, 0, math.pi):.6f}")
print(f"Trapèzes : {trapezes(f, 0, math.pi):.6f}")
print(f"Valeur exacte : 2.000000")Méthode de Monte-Carlo
Estimation probabiliste de l'intégrale par génération de points aléatoires. Application au calcul de \(\pi\).
import random, math
def monte_carlo_integrale(f, a, b, M, N=100000):
"""
Estime ∫_a^b f(x)dx par la méthode de Monte-Carlo.
f positive, bornée par M sur [a, b].
N : nombre de points aléatoires.
"""
dans = 0
for _ in range(N):
x = random.uniform(a, b)
y = random.uniform(0, M)
if y <= f(x):
dans += 1
return M * (b - a) * dans / N
# Estimation de π : π = 4 * ∫_0^1 √(1-x²) dx
estimation_pi = 4 * monte_carlo_integrale(
lambda x: math.sqrt(1 - x**2), 0, 1, 1, N=500000
)
print(f"π ≈ {estimation_pi:.4f} (exact : {math.pi:.4f})")
# Intégrale de e^(-x²) sur [0, 3]
val = monte_carlo_integrale(lambda x: math.exp(-x**2), 0, 3, 1, N=200000)
print(f"∫₀³ e^(-x²) dx ≈ {val:.5f}")Algorithme de Brouncker pour \(\ln 2\)
Calcul de \(\ln 2\) par la série alternée \(\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots\) avec accélération de la convergence.
import math
def ln2_brouncker(N=10000):
"""Calcule ln(2) par la série de Grégory-Leibniz alternée."""
return sum((-1)**(k + 1) / k for k in range(1, N + 1))
def ln2_accel(N=1000):
"""Version accélérée : ln(2) = 2 * sum_{k=0}^{N} 1/((2k+1)*3^(2k+1))"""
# Plus convergente : utilise ln(2) = 2*arctanh(1/3)
s = 0.0
terme = 1 / 3
puiss = 1 / 3
for k in range(N):
s += puiss / (2 * k + 1)
puiss /= 9 # diviser par 3² = 9 à chaque étape
return 2 * s
print(f"Brouncker N=100 : {ln2_brouncker(100):.8f}")
print(f"Brouncker N=10000 : {ln2_brouncker(10000):.8f}")
print(f"Version accélérée : {ln2_accel(20):.12f}")
print(f"Valeur exacte : {math.log(2):.12f}")