Récurrence et Suites
Raisonnement par récurrence. Monotonie, majorées, minorées, bornées.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite.
- Étudier des phénomènes d'évolution modélisables par une suite.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Inégalité de Bernoulli : \((1 + a)^n \geq 1 + na\) pour \(a > 0\), par récurrence (utilisée pour démontrer la limite de \((q^n)\)).
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Recherche de seuils.
1. Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étudier deux outils fondamentaux de l'analyse : le raisonnement par récurrence, qui permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang, et l'étude de la monotonie des suites, qui décrit leur comportement global.
Ces techniques sont omniprésentes en mathématiques : on les retrouve aussi bien dans l'étude des suites définies par récurrence que dans la démonstration de formules comme la somme des \(n\) premiers entiers ou la somme des termes d'une suite géométrique.
2. Cours
A — Raisonnement par récurrence
Une propriété mathématique est une phrase (qui dépend éventuellement d'un paramètre entier \(n\)) pouvant être vraie ou fausse.
On la note \(P(n)\). Par exemple : « \(u_n = 2 \times 3^n + 1\) » est une propriété dépendant de \(n\).
Soient \(n_0 \in \mathbb{N}\) et \(P(n)\) une propriété dépendant de l'entier naturel \(n\), définie pour tout \(n \geq n_0\).
On suppose que :
- Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : Pour tout entier \(k \geq n_0\), si \(P(k)\) est vraie alors \(P(k+1)\) est vraie.
Alors, pour tout entier naturel \(n \geq n_0\), \(P(n)\) est vraie.
Voici la structure type à utiliser :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 2\). Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_n = 2 \times 3^n + 1 \]
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(u_n = 2 \times 3^n + 1\). »
Initialisation (\(n=0\)) : On a \(u_0 = 3\) par définition. Or \(2 \times 3^0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons que \(P(k)\) est vraie, c'est-à-dire \(u_k = 2 \times 3^k + 1\). Montrons que \(P(k+1)\) est vraie, i.e. \(u_{k+1} = 2 \times 3^{k+1} + 1\).
Par définition de la suite : \(u_{k+1} = 3u_k - 2\). Par hypothèse de récurrence :
\[ u_{k+1} = 3(2 \times 3^k + 1) - 2 = 6 \times 3^k + 3 - 2 = 6 \times 3^k + 1 = 2 \times 3^{k+1} + 1 \]Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 2 \times 3^n + 1\).
B — Monotonie d'une suite
Une suite \((u_n)\) est :
- croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq u_{n+1}\) ;
- strictement croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n < u_{n+1}\) ;
- décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq u_{n+1}\) ;
- strictement décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n > u_{n+1}\) ;
- monotone si elle est croissante ou décroissante.
Si \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante.
Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1\), la suite est croissante.
Une suite \((u_n)\) est :
- majorée s'il existe un réel \(M\) tel que \(u_n \leq M\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ;
- minorée s'il existe un réel \(m\) tel que \(u_n \geq m\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ;
- bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
3. Exemples guidés
Soit \(u_n = 3n + 1\). Étudier la monotonie de \((u_n)\).
Solution : On pose \(f(x) = 3x + 1\), définie sur \([0;+\infty[\). On a \(f'(x) = 3 > 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
Puisque \(u_n = f(n)\) et que \(f\) est croissante, la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 4\) et \(v_{n+1} = \dfrac{v_n}{2} + 1\).
Calcul des premiers termes :
- \(v_0 = 4\)
- \(v_1 = \dfrac{4}{2} + 1 = 3\)
- \(v_2 = \dfrac{3}{2} + 1 = 2{,}5\)
- \(v_3 = \dfrac{2{,}5}{2} + 1 = 2{,}25\)
La suite semble décroissante et se rapproche de 2.
Monotonie (méthode 1 — différence) :
\[ v_{n+1} - v_n = \left(\frac{v_n}{2} + 1\right) - v_n = -\frac{v_n}{2} + 1 = \frac{2 - v_n}{2} \]Pour conclure, il faut savoir le signe de \(2 - v_n\). Montrons par récurrence que \(v_n \geq 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Minoration par 2 (récurrence) : Soit \(P(n) : v_n \geq 2\).
- Init. \(v_0 = 4 \geq 2\). Vrai.
- Hérédité. Supposons \(v_k \geq 2\). Alors \(v_{k+1} = \dfrac{v_k}{2} + 1 \geq \dfrac{2}{2} + 1 = 2\). Vrai.
Donc \(v_n \geq 2\) pour tout \(n\), ce qui donne \(2 - v_n \leq 0\), donc \(v_{n+1} - v_n \leq 0\).
La suite \((v_n)\) est décroissante et minorée par 2.
Démontrer que pour tout \(n \geq 1\) : \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \]
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2\). »
Initialisation (\(n=1\)) : Le membre gauche vaut \(2(1)-1 = 1\) et le membre droit vaut \(1^2 = 1\). Donc \(P(1)\) est vraie.
Hérédité : Supposons \(P(k)\) vraie pour un entier \(k \geq 1\), i.e. \(\displaystyle\sum_{k'=1}^{k}(2k'-1) = k^2\). Montrons \(P(k+1)\).
\[ \sum_{k'=1}^{k+1}(2k'-1) = \sum_{k'=1}^{k}(2k'-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + 2k+2-1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 \]Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \geq 1\), \(1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2\). \(\square\)
4. Exercices progressifs
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + 4\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
- Cette suite est-elle croissante ? Justifier par la méthode de la différence.
1. Calcul des premiers termes :
- \(u_1 = u_0 + 4 = 1 + 4 = 5\)
- \(u_2 = u_1 + 4 = 5 + 4 = 9\)
- \(u_3 = u_2 + 4 = 9 + 4 = 13\)
2. Monotonie (méthode 1) :
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} - u_n = (u_n + 4) - u_n = 4 > 0 \] Donc \(u_{n+1} > u_n\) pour tout \(n\), la suite est strictement croissante.
Il s'agit d'une suite arithmétique de raison \(r = 4 > 0\), ce qui confirme ce résultat.
Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ 2^n \geq n + 1 \]
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(2^n \geq n+1\). »
Initialisation (\(n=0\)) : \(2^0 = 1\) et \(0+1 = 1\). On a bien \(1 \geq 1\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(P(k)\) vraie : \(2^k \geq k+1\). Montrons \(P(k+1)\) : \(2^{k+1} \geq k+2\).
\[ 2^{k+1} = 2 \times 2^k \geq 2(k+1) = 2k+2 \]Or \(2k + 2 \geq k + 2\) car \(k \geq 0\), donc \(k \geq 0 \Rightarrow k + 2 \leq 2k + 2\). Ainsi \(2^{k+1} \geq k + 2\). \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion : Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(2^n \geq n+1\). \(\square\)
Soit \(u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}\). Étudier la monotonie de \((u_n)\) par la méthode de votre choix.
Méthode 1 — Différence :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} \]On réduit au même dénominateur \((n+3)(n+2)\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} \]Développons le numérateur :
\[ (3n+4)(n+2) = 3n^2 + 6n + 4n + 8 = 3n^2 + 10n + 8 \] \[ (3n+1)(n+3) = 3n^2 + 9n + n + 3 = 3n^2 + 10n + 3 \] \[ \text{Numérateur} = (3n^2+10n+8) - (3n^2+10n+3) = 5 \]Donc : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{5}{(n+3)(n+2)} \] Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((n+2) > 0\) et \((n+3) > 0\), donc \(u_{n+1} - u_n > 0\).
La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Remarque : On pouvait aussi utiliser la méthode 3 : \(f(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}\), \(f'(x) = \dfrac{3(x+2)-(3x+1)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0\), donc \(f\) est croissante.
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2}\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \geq 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Étudier la monotonie de \((u_n)\).
1. Minoration par 3 : Soit \(P(n) : u_n \geq 3\).
- Init. \(u_0 = 5 \geq 3\). Vrai.
- Hérédité. Supposons \(u_k \geq 3\). Alors : \[ u_{k+1} = \frac{u_k + 3}{2} \geq \frac{3+3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Par récurrence, \(u_n \geq 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. Monotonie (méthode 1) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 3}{2} - u_n = \frac{u_n + 3 - 2u_n}{2} = \frac{3 - u_n}{2} \]Or on vient de montrer que \(u_n \geq 3\), donc \(3 - u_n \leq 0\), d'où \(u_{n+1} - u_n \leq 0\).
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3.
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 1\). Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_n = 3 \times 2^n - 1 \]
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(u_n = 3 \times 2^n - 1\). »
Initialisation (\(n=0\)) : \(u_0 = 2\) et \(3 \times 2^0 - 1 = 3 - 1 = 2\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(u_k = 3 \times 2^k - 1\). Montrons \(u_{k+1} = 3 \times 2^{k+1} - 1\).
\[ u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(3 \times 2^k - 1) + 1 = 6 \times 2^k - 2 + 1 = 6 \times 2^k - 1 = 3 \times 2^{k+1} - 1 \]Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 3 \times 2^n - 1\). \(\square\)
Vérification : \(u_1 = 2 \times 2 + 1 = 5\) et \(3 \times 2^1 - 1 = 5\). ✓
Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ \sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
Soit \(P(n)\) la propriété : « \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). »
Initialisation (\(n=0\)) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{0} k^2 = 0\) et \(\dfrac{0 \times 1 \times 1}{6} = 0\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit \(p \in \mathbb{N}\). Supposons \(P(p)\) vraie. Montrons \(P(p+1)\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1} k^2 = \dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}\).
\[ \sum_{k=0}^{p+1} k^2 = \sum_{k=0}^{p} k^2 + (p+1)^2 = \frac{p(p+1)(2p+1)}{6} + (p+1)^2 \]On factorise par \((p+1)\) :
\[ = (p+1)\left[\frac{p(2p+1)}{6} + (p+1)\right] = (p+1) \cdot \frac{p(2p+1) + 6(p+1)}{6} \] \[ = (p+1) \cdot \frac{2p^2 + p + 6p + 6}{6} = (p+1) \cdot \frac{2p^2 + 7p + 6}{6} \]Or \(2p^2 + 7p + 6 = (p+2)(2p+3)\) (vérification : \((p+2)(2p+3) = 2p^2 + 3p + 4p + 6 = 2p^2 + 7p + 6\)). Donc :
\[ \sum_{k=0}^{p+1} k^2 = \frac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6} \]\(P(p+1)\) est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). \(\square\)
📌 Fiche de synthèse
Le raisonnement par récurrence
Structure obligatoire en 3 étapes :
- Initialisation : vérifier que \(P(n_0)\) est vraie (calcul numérique).
- Hérédité : fixer \(k \geq n_0\), supposer \(P(k)\) vraie (hypothèse de récurrence), et démontrer \(P(k+1)\).
- Conclusion : « Par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq n_0\). »
Monotonie — Résumé des méthodes
| Méthode | Ce qu'on calcule | Conclusion croissante |
|---|---|---|
| Différence | \(u_{n+1}-u_n\) | \(\geq 0\) |
| Quotient | \(u_{n+1}/u_n\) (si \(u_n>0\)) | \(\geq 1\) |
| Fonction | Signe de \(f'\) sur \([0;+\infty[\) | \(f'\geq 0\) |
| Récurrence | Prouver \(P(n):u_n\leq u_{n+1}\) | Par récurrence |
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier l'initialisation : la démonstration est invalide.
- Oublier l'hérédité : la démonstration est invalide.
- Dans l'hérédité, oublier d'écrire explicitement l'hypothèse de récurrence.
- Conclure que \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) implique croissante sans avoir vérifié le signe.
- Confondre « montrer que \(u_n \geq m\) » avec « supposer que \(u_n \geq m\) » — ce n'est pas la même chose !
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Inégalité de Bernoulli
Pour tout entier \(n \geq 1\) et tout réel \(a > 0\) :
\[(1+a)^n \geq 1 + na\]Initialisation : Pour \(n = 1\), \((1+a)^1 = 1 + a = 1 + 1 \cdot a\). L'inégalité est vérifiée.
Hérédité : Soit \(k \geq 1\). Supposons que \((1+a)^k \geq 1 + ka\) (hypothèse de récurrence). Montrons que \((1+a)^{k+1} \geq 1 + (k+1)a\).
\[(1+a)^{k+1} = (1+a)^k \cdot (1+a) \geq (1+ka)(1+a) = 1 + a + ka + ka^2 = 1 + (k+1)a + ka^2 \geq 1 + (k+1)a\]car \(ka^2 \geq 0\).
Conclusion : La propriété est initialisée et héréditaire, donc par le principe de récurrence, l'inégalité est établie pour tout \(n \geq 1\). \(\square\)
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Recherche de seuils
Trouver le premier rang \(n\) à partir duquel une suite dépasse (ou reste inférieure à) un seuil donné.
def seuil_suite_geo(u0, q, S):
"""
Cherche le premier rang n tel que u_n > S
pour la suite géométrique u_n = u0 * q^n.
Retourne (n, u_n).
"""
n = 0
u = u0
while u <= S:
u = q * u
n += 1
return n, u
# Exemple : suite géométrique de raison 1.05, terme initial 1
# Chercher quand u_n dépasse 2 (doublement du capital)
rang, valeur = seuil_suite_geo(1, 1.05, 2)
print(f"Premier rang : n = {rang}, u_n ≈ {valeur:.4f}")
# Généralisation : suite arithmétique
def seuil_suite_arith(u0, r, S):
"""u_n = u0 + n*r ; cherche premier n tel que u_n > S."""
n = 0
u = u0
while u <= S:
u = u + r
n += 1
return n, u